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1Formules et méthodes
Valeur temps de l'argent
Valeur future
FV = PV·(1 + i)n
Valeur actuelle
PV = FV/(1 + i)n
Plusieurs périodes par an
i = r/m, N = m·n
Annuités, valeur actuelle
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Annuités, valeur future
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Méthode
Tracez un axe du temps avec chaque flux de trésorerie et sa date.
Faites correspondre le taux à la période : un taux mensuel pour des versements mensuels.
Utilisez FV = PV·(1 + i)ⁿ pour les montants uniques et les formules d’annuités pour les versements constants.
Vérifiez le signe et l’ordre de grandeur de la réponse.
VAN et TRI
Valeur actuelle nette
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flux égaux
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taux de rendement interne
le r pour lequel NPV = 0
Décision
accepter si NPV > 0 (ou IRR > rendement exigé)
Méthode
Listez tous les flux de trésorerie avec leur année ; l’investissement de l’année 0 est négatif.
Actualisez chaque flux : CFt/(1 + r)t.
Additionnez-les pour obtenir la VAN. Une valeur positive signifie que le projet rapporte plus que r.
Pour le TRI, trouvez le taux qui annule la VAN, par tâtonnement ou par interpolation.
Prix et rendement des obligations
Prix de l’obligation
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Coupons semestriels
C/2, y/2 et 2n périodes
Rendement courant
C/P
Prix et rendement
rendement en hausse → prix en baisse
Méthode
Trouvez le coupon par période et le rendement par période.
Prix = valeur actuelle des coupons (une annuité) + valeur actuelle de la valeur nominale.
Pour des coupons semestriels, prenez la moitié du coupon, la moitié du rendement et deux fois plus de périodes.
Vérification : si le rendement est supérieur au taux du coupon, le prix est inférieur à la valeur nominale.
CAPM et WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valeur de l’entreprise
V = E + D
Seuil de rentabilité
Marge sur coût variable
CM = p − v
Quantité au seuil de rentabilité
QBE = FC/(p − v)
Bénéfice visé
Q = (FC + profit)/(p − v)
Bénéfice
π = (p − v)·Q − FC
Marge de sécurité
(Q − QBE)/Q
2Exercices
1.Valeur temps de l'argentMoyen
Un bien immobilier devrait rapporter un loyer net de €6 000 l’année prochaine. Le loyer devrait croître de 2 % par an indéfiniment. Le rendement exigé est de 5 % par an. Trouvez la valeur PV du bien aujourd’hui.
C1 = €6 000g = 2%r = 5%
PV = €
2.Valeur temps de l'argentDifficile
Un prêt de €150 000 est remboursé par mensualités constantes sur 15 ans à 3 % par an, capitalisé mensuellement. Quel montant total d’intérêts I est payé sur toute la durée du prêt ?
P = €150 0003% / 12N = 180
I = €
3.VAN et TRIMoyen
Un investissement de €45 000 donne ces flux à la fin des années 1 à 4 : €16 000, €16 000, €9 000, €20 000. Le coût du capital est de 15 %. Calcule la valeur actuelle nette NPV.
Un projet coûte €40 000 et rapporte €22 500, €26 000, €27 000 à la fin des années 1 à 3. Calcule son taux de rendement interne IRR en pourcentage.
CF0 = −40 000CF1 = 22 500CF2 = 26 000CF3 = 27 000
IRR = %
5.Prix et rendement des obligationsMoyen
Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 3% en deux versements semestriels et arrive à échéance dans 7 ans. Le taux de rendement actuariel est de 5% par an. Trouvez le prix P de l’obligation.
F = €1 000coupon = 3%YTM = 5%n = 7
P = €
6.Prix et rendement des obligationsDifficile
Une obligation à 13 ans de l’échéance (valeur nominale €1 000, coupon annuel 7%) se vend €1 137. L’émetteur peut la rembourser par anticipation dans 5 ans à un prix de remboursement anticipé de €1 070. Trouvez le rendement au remboursement anticipé YTC en pourcentage.
F = €1 000coupon = 7%P = €1 137prix de remboursement anticipé = €1 070remboursement anticipé dans 5 ans
YTC = %
7.CAPM et WACCMoyen
Une entreprise est financée par des actions ordinaires valant €4 000 000, des actions privilégiées valant €1 500 000 et une dette valant €5 000 000. Le coût des capitaux propres est de 14%, le coût des actions privilégiées de 6% et le coût de la dette avant impôt de 3%. Le taux d’imposition est de 25%. Trouvez le WACC.
Les actions d’une entreprise ont un bêta de 1,2 pour son ratio dette/capitaux propres actuel de 0,2. Elle prévoit de porter ce ratio à 0,75. Le taux d’imposition est de 25%, le taux sans risque de 3% et la prime de risque du marché de 4,5%. Trouvez le coût des capitaux propres re après ce changement.
Une entreprise vend 4 000 unités à €21 chacune. Le coût variable est de €6 par unité et les coûts fixes s’élèvent à €30 000. Trouvez le degré de levier opérationnel DOL à ce niveau de ventes.
Q = 4 000p = €21v = €6F = €30 000
DOL =
10.Seuil de rentabilitéDifficile
Un produit se vend €28 l'unité, avec un coût variable de €8 par unité et des coûts fixes de €16 000 par an. Les ventes prévues sont de 1 000 unités. Calcule la marge de sécurité MS en pourcentage des ventes prévues.
F = €16 000p = €28v = €8prévision = 1 000
MS = %
3Solutions
1.Valeur temps de l'argent
Réponse: PV = 200000 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Valeur actuelle de chaque flux
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0,15)1 = 16 000/1,15 = 13 913,04
CF2/(1 + 0,15)2 = 16 000/1,322 = 12 098,30
CF3/(1 + 0,15)3 = 9 000/1,521 = 5 917,65
CF4/(1 + 0,15)4 = 20 000/1,749 = 11 435,06
Additionner
NPV = €−1 635,95
Réponse
NPV = €−1 635,95
La VAN est négative : le projet rapporte moins que le rendement exigé.
4.VAN et TRI
Réponse: IRR = 38,43 %
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Encadrer le TRI
La VAN baisse quand le taux augmente, donc le TRI se trouve entre un taux à VAN positive et un taux à VAN négative.
NPV(35%) = 1 906,72
NPV(40%) = −823,62
Resserrer
L'interpolation linéaire donne une première estimation ; la répéter (ou utiliser la fonction TRI d'une calculatrice) donne le taux exact.
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Par période
C = €15,00, i = 0,025, N = 14
Valeur actuelle des coupons
€15,00·(1 − 0,7077)/0,025 = €175,36
Valeur actuelle du nominal
€1 000·0,7077 = €707,73
Prix
P = €883,09
Réponse
P = €883,09
Le rendement est supérieur au taux du coupon, donc l’obligation se vend avec une décote (sous le pair).
6.Prix et rendement des obligations
Réponse: YTC = 5,092 %
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Équation du rendement
1137 = 70·(1 − (1 + y)−5)/y + 1070/(1 + y)5
Résoudre numériquement
y = 5%: €1 141,44
y = 6%: €1 094,43
YTC = 5,092%
Réponse
YTC = 5,092%
Le taux de rendement actuariel à l’échéance est de 5,498%. Les investisseurs d’une obligation cotant au-dessus du pair s’attendent à un remboursement anticipé, donc le rendement au remboursement anticipé, plus faible, est le plus réaliste.
7.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 7,262 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Bêta endetté (Hamada) : la dette rend les capitaux propres plus risqués. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), où βU est le bêta de l’activité sans dette. Pour transposer un bêta à une autre structure du capital, désendettez-le d’abord, puis réendettez-le au nouveau D/E.
Désendetter le bêta
βU = 1,2/(1 + 0,75·0,2) = 1,043
Réendetter au nouveau D/E
βL = 1,043·(1 + 0,75·0,75) = 1,63
Coût des capitaux propres (CAPM)
re = 3% + 1,63·4,5% = 10,34%
Réponse
re = 10,34%
9.Seuil de rentabilité
Réponse: DOL = 2
Levier opérationnel : les coûts fixes font réagir le bénéfice plus fortement que les ventes. Le degré de levier opérationnel DOL = marge sur coût variable/résultat d’exploitation indique qu’une variation de 1 % des ventes modifie le bénéfice de DOL %. Il est très élevé juste au-dessus du seuil de rentabilité et diminue quand les ventes augmentent.
Marge sur coût variable totale
CM = 4 000·(21 − 6) = €60 000
Résultat d’exploitation
Π = 60 000 − 30 000 = €30 000
DOL
DOL = 60 000/30 000 = 2
Réponse
DOL = 2
10.Seuil de rentabilité
Réponse: MS = 20 %
Coût-volume-profit : chaque unité vendue rapporte une marge sur coût variable, le prix moins le coût variable unitaire. Bénéfice = Q·(p − v) − F, où F est le coût fixe. Au seuil de rentabilité le bénéfice est nul, donc Q = F/(p − v).