Finance d’entreprise : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 10 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Valeur temps de l'argent

Valeur future: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valeur actuelle: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Plusieurs périodes par an: i = r/m, N = m·n
Annuités, valeur actuelle: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Annuités, valeur future: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Méthode

Tracez un axe du temps avec chaque flux de trésorerie et sa date.
Faites correspondre le taux à la période : un taux mensuel pour des versements mensuels.
Utilisez FV = PV·(1 + i)ⁿ pour les montants uniques et les formules d’annuités pour les versements constants.
Vérifiez le signe et l’ordre de grandeur de la réponse.

VAN et TRI

Valeur actuelle nette: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Flux égaux: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Taux de rendement interne: le r pour lequel NPV = 0
Décision: accepter si NPV > 0 (ou IRR > rendement exigé)

Méthode

Listez tous les flux de trésorerie avec leur année ; l’investissement de l’année 0 est négatif.
Actualisez chaque flux : CF_t/(1 + r)^t.
Additionnez-les pour obtenir la VAN. Une valeur positive signifie que le projet rapporte plus que r.
Pour le TRI, trouvez le taux qui annule la VAN, par tâtonnement ou par interpolation.

Prix et rendement des obligations

Prix de l’obligation: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Coupons semestriels: C/2, y/2 et 2n périodes
Rendement courant: C/P
Prix et rendement: rendement en hausse → prix en baisse

Méthode

Trouvez le coupon par période et le rendement par période.
Prix = valeur actuelle des coupons (une annuité) + valeur actuelle de la valeur nominale.
Pour des coupons semestriels, prenez la moitié du coupon, la moitié du rendement et deux fois plus de périodes.
Vérification : si le rendement est supérieur au taux du coupon, le prix est inférieur à la valeur nominale.

CAPM et WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valeur de l’entreprise: V = E + D

Seuil de rentabilité

Marge sur coût variable: CM = p − v
Quantité au seuil de rentabilité: Q_BE = FC/(p − v)
Bénéfice visé: Q = (FC + profit)/(p − v)
Bénéfice: π = (p − v)·Q − FC
Marge de sécurité: (Q − Q_BE)/Q

2Exercices

1.Valeur temps de l'argentMoyen

Tu places €12 000 à un taux nominal de 6 % par an, capitalisés trimestriellement. Calcule la valeur FV du placement après 5 ans.

PV = €12 0006% / 4n = 5

FV = €

2.Valeur temps de l'argentDifficile

Un prêt de €12 000 est remboursé par mensualités égales sur 3 ans. Le taux d'intérêt est de 4,8 % par an, capitalisés mensuellement. Calcule la mensualité A.

P = €12 0004,8% / 12N = 36

A = €

3.VAN et TRIMoyen

Un investissement de €30 000 donne ces flux à la fin des années 1 à 4 : €12 000, €8 000, €14 000, €14 000. Le coût du capital est de 12 %. Calcule la valeur actuelle nette NPV.

r = 12%CF₀ = −30 000CF₁ = 12 000CF₂ = 8 000CF₃ = 14 000CF₄ = 14 000

NPV = €

4.VAN et TRIDifficile

Un projet coûte €25 000 et rapporte €9 000, €9 500, €10 000 à la fin des années 1 à 3. Les flux peuvent être réinvestis au coût du capital de 8 %. Trouvez le taux de rendement interne modifié MIRR en pourcentage.

r = 8%CF₀ = −25 000CF₁ = 9 000CF₂ = 9 500CF₃ = 10 000

MIRR = %

5.Prix et rendement des obligationsMoyen

Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 4% en deux versements semestriels et arrive à échéance dans 10 ans. Le taux de rendement actuariel est de 8% par an. Trouvez le prix P de l’obligation.

F = €1 000coupon = 4%YTM = 8%n = 10

P = €

6.Prix et rendement des obligationsDifficile

Une obligation de valeur nominale €1 000 avec un coupon annuel de 8% arrive à échéance dans 7 ans et se vend €1 055. Trouvez son taux de rendement actuariel YTM en pourcentage.

F = €1 000coupon = 8%n = 7P = €1 055

YTM = %

7.CAPM et WACCMoyen

Une entreprise a un ratio dette/capitaux propres (en valeurs de marché) de 0,75. Son coût des capitaux propres est de 11%, son coût de la dette avant impôt de 4,5% et le taux d’imposition de 28%. Trouvez le WACC.

D/E = 0,75r_e = 11%r_d = 4,5%T = 28%

WACC = %

8.CAPM et WACCDifficile

Une entreprise a 2 000 000 actions cotant €23,50 ; la valeur comptable de ses capitaux propres est de €28 200 000. Elle vient de verser un dividende de €2,70 par action, et les dividendes croissent de 4% par an. Sa dette a une valeur de marché de €47 000 000 et un coût avant impôt de 3%. Le taux d’imposition est de 30%. Trouvez le WACC en utilisant le modèle de croissance des dividendes pour le coût des capitaux propres.

N = 2 000 000P₀ = €23,50capitaux propres comptables = €28 200 000D₀ = €2,70g = 4%D = €47 000 000r_d = 3%T = 30%

WACC = %

9.Seuil de rentabilitéMoyen

Un produit se vend €32 l'unité avec un coût variable de €12 par unité. Les coûts fixes sont de €30 000 par mois. Combien d'unités Q faut-il vendre par mois pour faire un bénéfice de €12 000 ?

F = €30 000p = €32v = €12bénéfice = €12 000

Q = unités

10.Seuil de rentabilitéDifficile

Une entreprise vend deux produits. Le produit A se vend €10 avec un coût variable de €5 ; le produit B se vend €25 avec un coût variable de €15. Ils se vendent dans une proportion fixe de 3 unités de A pour 2 de B. Les coûts fixes s’élèvent à €28 000 par mois. Trouvez le nombre total d’unités Q (A et B ensemble) nécessaire pour atteindre le seuil de rentabilité.

p_A = €10, v_A = €5p_B = €25, v_B = €15A : B = 3 : 2F = €28 000

Q = unités

3Solutions

1.Valeur temps de l'argent

Réponse: FV = 16162 €

Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)ⁿ. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.

Taux et nombre de périodes

i = r/m = 0,06/4 = 0,015

N = m·n = 4·5 = 20

Valeur future

FV = 12 000·(1 + 0,015)²⁰ = 12 000·1,347 = €16 162,26

Réponse

FV = €16 162,26

2.Valeur temps de l'argent

Réponse: A = 358,6 €

Taux mensuel et nombre de mensualités

i = 0,048/12 = 0,004

N = 12·3 = 36

Mensualité

La valeur actuelle de N paiements égaux A vaut A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Égale-la au prêt et résous pour A.

(1 + i)^−N = 0,8661

A = 12 000·0,004/(1 − 0,8661) = €358,57

Réponse

A = €358,57

3.VAN et TRI

Réponse: NPV = 5954 €

Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.

Valeur actuelle de chaque flux

CF₀ = −30 000

CF₁/(1 + 0,12)¹ = 12 000/1,12 = 10 714,29

CF₂/(1 + 0,12)² = 8 000/1,254 = 6 377,55

CF₃/(1 + 0,12)³ = 14 000/1,405 = 9 964,92

CF₄/(1 + 0,12)⁴ = 14 000/1,574 = 8 897,25

Additionner

NPV = €5 954,01

Réponse

NPV = €5 954,01

La VAN est positive : le projet rapporte plus que le rendement exigé.

4.VAN et TRI

Réponse: MIRR = 7,153 %

TRI modifié : capitalisez chaque encaissement jusqu’à la fin du projet au taux de réinvestissement (en général le coût du capital) pour obtenir la valeur terminale TV. Le TRIM est le taux qui transforme l’investissement initial en TV : MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

Valeur terminale des encaissements

9 000·1,08² = 10 497,60

9 500·1,08¹ = 10 260,00

10 000·1,08⁰ = 10 000,00

TV = 30 757,60

MIRR

MIRR = (30 757,60/25 000)^1/3 − 1 = 7,153%

Réponse

MIRR = 7,153%

5.Prix et rendement des obligations

Réponse: P = 728,2 €

Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.

Par période

C = €20,00, i = 0,04, N = 20

Valeur actuelle des coupons

€20,00·(1 − 0,4564)/0,04 = €271,81

Valeur actuelle du nominal

€1 000·0,4564 = €456,39

Prix

P = €728,19

Réponse

P = €728,19

Le rendement est supérieur au taux du coupon, donc l’obligation se vend avec une décote (sous le pair).

6.Prix et rendement des obligations

Réponse: YTM = 6,98 %

Équation du rendement

€1 055 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷

Résoudre numériquement

P(6%) = €1 111,65, P(7%) = €1 053,89

YTM = 6,98%

Réponse

YTM = 6,98%

7.CAPM et WACC

Réponse: WACC = 7,674 %

Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).

Poids à partir de D/E

E/V = 1/(1 + 0,75) = 0,5714

D/V = 0,75/(1 + 0,75) = 0,4286

WACC

WACC = 0,5714·11% + 0,4286·4,5%·(1 − 0,28) = 7,674%

Réponse

WACC = 7,674%

8.CAPM et WACC

Réponse: WACC = 9,024 %

Coût des capitaux propres

D₁ = 2,7·1,04 = €2,81

r_e = 2,808/23,5 + 0,04 = 15,95%

Valeurs de marché

E = 2 000 000·€23,50 = €47 000 000

V = €94 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5

WACC

WACC = 0,5·15,95% + 0,5·3%·(1 − 0,3) = 9,024%

Réponse

WACC = 9,024%

9.Seuil de rentabilité

Réponse: Q = 2100 unités

Coût-volume-profit : chaque unité vendue rapporte une marge sur coût variable, le prix moins le coût variable unitaire. Bénéfice = Q·(p − v) − F, où F est le coût fixe. Au seuil de rentabilité le bénéfice est nul, donc Q = F/(p − v).

Marge unitaire sur coût variable

p − v = 32 − 12 = €20

Unités pour le bénéfice visé

Q = (F + bénéfice)/(p − v) = (30 000 + 12 000)/20 = 2 100

Réponse

Q = 2 100 unités

10.Seuil de rentabilité

Réponse: Q = 4000 unités

Seuil de rentabilité avec une composition des ventes : quand les produits se vendent dans une proportion fixe, utilisez la marge sur coût variable moyenne pondérée : pondérez le p − v de chaque produit par sa part en unités. Unités au seuil de rentabilité = F/(marge pondérée), réparties à nouveau selon la proportion.

Marges sur coût variable

cm_A = €5, cm_B = €10

Marge sur coût variable pondérée

(3·5 + 2·10)/5 = €7,00

Unités au seuil de rentabilité

Q = 28 000/7 = 4 000

A: 2 400, B: 1 600

Réponse

Q = 4 000 unités

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