Finance d’entreprise : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 10 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Valeur temps de l'argent

Valeur future: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valeur actuelle: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Plusieurs périodes par an: i = r/m, N = m·n
Annuités, valeur actuelle: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Annuités, valeur future: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Méthode

Tracez un axe du temps avec chaque flux de trésorerie et sa date.
Faites correspondre le taux à la période : un taux mensuel pour des versements mensuels.
Utilisez FV = PV·(1 + i)ⁿ pour les montants uniques et les formules d’annuités pour les versements constants.
Vérifiez le signe et l’ordre de grandeur de la réponse.

VAN et TRI

Valeur actuelle nette: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Flux égaux: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Taux de rendement interne: le r pour lequel NPV = 0
Décision: accepter si NPV > 0 (ou IRR > rendement exigé)

Méthode

Listez tous les flux de trésorerie avec leur année ; l’investissement de l’année 0 est négatif.
Actualisez chaque flux : CF_t/(1 + r)^t.
Additionnez-les pour obtenir la VAN. Une valeur positive signifie que le projet rapporte plus que r.
Pour le TRI, trouvez le taux qui annule la VAN, par tâtonnement ou par interpolation.

Prix et rendement des obligations

Prix de l’obligation: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Coupons semestriels: C/2, y/2 et 2n périodes
Rendement courant: C/P
Prix et rendement: rendement en hausse → prix en baisse

Méthode

Trouvez le coupon par période et le rendement par période.
Prix = valeur actuelle des coupons (une annuité) + valeur actuelle de la valeur nominale.
Pour des coupons semestriels, prenez la moitié du coupon, la moitié du rendement et deux fois plus de périodes.
Vérification : si le rendement est supérieur au taux du coupon, le prix est inférieur à la valeur nominale.

CAPM et WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valeur de l’entreprise: V = E + D

Seuil de rentabilité

Marge sur coût variable: CM = p − v
Quantité au seuil de rentabilité: Q_BE = FC/(p − v)
Bénéfice visé: Q = (FC + profit)/(p − v)
Bénéfice: π = (p − v)·Q − FC
Marge de sécurité: (Q − Q_BE)/Q

2Exercices

1.Valeur temps de l'argentMoyen

Une carte de crédit applique un taux d’intérêt nominal de 20 % par an, capitalisé quotidienne. Trouvez le taux annuel effectif EAR en pourcentage.

r = 20%m = 365

EAR = %

2.Valeur temps de l'argentDifficile

Un prêt de €25 000 est remboursé par mensualités égales sur 5 ans. Le taux d'intérêt est de 3,6 % par an, capitalisés mensuellement. Calcule la mensualité A.

P = €25 0003,6% / 12N = 60

A = €

3.VAN et TRIMoyen

Un investissement de €30 000 donne ces flux à la fin des années 1 à 4 : €11 000, €15 000, €11 000, €7 000. Le coût du capital est de 15 %. Calcule la valeur actuelle nette NPV.

r = 15%CF₀ = −30 000CF₁ = 11 000CF₂ = 15 000CF₃ = 11 000CF₄ = 7 000

NPV = €

4.VAN et TRIDifficile

Un investissement de €20 000 rapporte €5 500 à la fin de chaque année pendant 7 ans. Trouvez son taux de rendement interne IRR en pourcentage.

C₀ = €20 000CF = €5 500n = 7

IRR = %

5.Prix et rendement des obligationsMoyen

Une obligation de valeur nominale €1 000 arrive à échéance dans 7 ans et verse des coupons annuels. Elle se vend €942 quand le taux de rendement actuariel est de 5%. Trouvez le taux du coupon c en pourcentage.

F = €1 000n = 7P = €942YTM = 5%

c = %

6.Prix et rendement des obligationsDifficile

Une obligation de valeur nominale €1 000 avec un coupon annuel de 6% arrive à échéance dans 7 ans et se vend €870. Trouvez son taux de rendement actuariel YTM en pourcentage.

F = €1 000coupon = 6%n = 7P = €870

YTM = %

7.CAPM et WACCMoyen

Une entreprise a un ratio dette/capitaux propres (en valeurs de marché) de 0,75. Son coût des capitaux propres est de 8%, son coût de la dette avant impôt de 3,5% et le taux d’imposition de 30%. Trouvez le WACC.

D/E = 0,75r_e = 8%r_d = 3,5%T = 30%

WACC = %

8.CAPM et WACCDifficile

Une entreprise a 5 000 000 actions cotant €42,50 ; la valeur comptable de ses capitaux propres est de €63 800 000. Elle vient de verser un dividende de €2,20 par action, et les dividendes croissent de 4% par an. Sa dette a une valeur de marché de €106 300 000 et un coût avant impôt de 6%. Le taux d’imposition est de 25,8%. Trouvez le WACC en utilisant le modèle de croissance des dividendes pour le coût des capitaux propres.

N = 5 000 000P₀ = €42,50capitaux propres comptables = €63 800 000D₀ = €2,20g = 4%D = €106 300 000r_d = 6%T = 25,8%

WACC = %

9.Seuil de rentabilitéMoyen

Un produit se vend €24 l'unité avec un coût variable de €4 par unité. Les coûts fixes sont de €40 000 par mois. Combien d'unités Q faut-il vendre par mois pour faire un bénéfice de €10 000 ?

F = €40 000p = €24v = €4bénéfice = €10 000

Q = unités

10.Seuil de rentabilitéDifficile

Une entreprise vend 1 500 unités par mois à €19 chacune, avec un coût variable de €15 par unité et des coûts fixes de €4 000 par mois. Le coût variable augmente de €2 par unité et le prix reste le même. Combien d’unités Q faut-il désormais vendre par mois pour conserver le même bénéfice ?

Q = 1 500p = €19v = €15 → €17F = €4 000

Q = unités

3Solutions

1.Valeur temps de l'argent

Réponse: EAR = 22,13 %

Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)ⁿ. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.

Taux par période

r/m = 0,2/365 = 0,0005479

Capitaliser sur un an

EAR = (1 + 0,0005479)³⁶⁵ − 1 = 1,221 − 1 = 22,13%

Réponse

EAR = 22,13%

Le taux annuel effectif est toujours supérieur au taux nominal quand les intérêts sont capitalisés plus d’une fois par an.

2.Valeur temps de l'argent

Réponse: A = 455,9 €

Taux mensuel et nombre de mensualités

i = 0,036000000000000004/12 = 0,003

N = 12·5 = 60

Mensualité

La valeur actuelle de N paiements égaux A vaut A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Égale-la au prêt et résous pour A.

(1 + i)^−N = 0,8355

A = 25 000·0,003/(1 − 0,8355) = €455,91

Réponse

A = €455,91

3.VAN et TRI

Réponse: NPV = 2142 €

Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.

Valeur actuelle de chaque flux

CF₀ = −30 000

CF₁/(1 + 0,15)¹ = 11 000/1,15 = 9 565,22

CF₂/(1 + 0,15)² = 15 000/1,322 = 11 342,16

CF₃/(1 + 0,15)³ = 11 000/1,521 = 7 232,68

CF₄/(1 + 0,15)⁴ = 7 000/1,749 = 4 002,27

Additionner

NPV = €2 142,32

Réponse

NPV = €2 142,32

La VAN est positive : le projet rapporte plus que le rendement exigé.

4.VAN et TRI

Réponse: IRR = 19,68 %

Facteur d’annuité requis

(1 − (1 + i)⁻⁷)/i = 20 000/5 500 = 3,636

Trouver le taux

Le facteur d’annuité diminue quand le taux augmente ; encadrez le taux et resserrez l’encadrement.

i = 19%: 3,706

i = 20%: 3,605

IRR = 19,68%

Réponse

IRR = 19,68%

5.Prix et rendement des obligations

Réponse: c = 3,998 %

Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.

Valeur actuelle du nominal

1000·(1 + 0,05)⁻⁷ = €710,68

Coupon

C = (942 − 710,68)/5,786 = €39,98

Taux du coupon

c = 39,98/1000 = 3,998%

Réponse

c = 3,998%

6.Prix et rendement des obligations

Réponse: YTM = 8,544 %

Équation du rendement

€870 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷

Résoudre numériquement

P(8%) = €895,87, P(9%) = €849,01

YTM = 8,544%

Réponse

YTM = 8,544%

7.CAPM et WACC

Réponse: WACC = 5,621 %

Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).

Poids à partir de D/E

E/V = 1/(1 + 0,75) = 0,5714

D/V = 0,75/(1 + 0,75) = 0,4286

WACC

WACC = 0,5714·8% + 0,4286·3,5%·(1 − 0,3) = 5,621%

Réponse

WACC = 5,621%

8.CAPM et WACC

Réponse: WACC = 7,739 %

Coût des capitaux propres

D₁ = 2,2·1,04 = €2,29

r_e = 2,288/42,5 + 0,04 = 9,384%

Valeurs de marché

E = 5 000 000·€42,50 = €212 500 000

V = €318 800 000, E/V = 0,6666, D/V = 0,3334

WACC

WACC = 0,6666·9,384% + 0,3334·6%·(1 − 0,258) = 7,739%

Réponse

WACC = 7,739%

9.Seuil de rentabilité

Réponse: Q = 2500 unités

Coût-volume-profit : chaque unité vendue rapporte une marge sur coût variable, le prix moins le coût variable unitaire. Bénéfice = Q·(p − v) − F, où F est le coût fixe. Au seuil de rentabilité le bénéfice est nul, donc Q = F/(p − v).

Marge unitaire sur coût variable

p − v = 24 − 4 = €20

Unités pour le bénéfice visé

Q = (F + bénéfice)/(p − v) = (40 000 + 10 000)/20 = 2 500

Réponse

Q = 2 500 unités

10.Seuil de rentabilité

Réponse: Q = 3000 unités

Bénéfice actuel

Π = 1 500·(19 − 15) − 4 000 = €2 000

Nouvelle marge sur coût variable unitaire

19 − 17 = €2

Unités pour le même bénéfice

Q = (4 000 + 2 000)/2 = 3 000

Réponse

Q = 3 000 unités

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