Finance d’entreprise : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 10 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Valeur temps de l'argent

Valeur future: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valeur actuelle: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Plusieurs périodes par an: i = r/m, N = m·n
Annuités, valeur actuelle: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Annuités, valeur future: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Méthode

Tracez un axe du temps avec chaque flux de trésorerie et sa date.
Faites correspondre le taux à la période : un taux mensuel pour des versements mensuels.
Utilisez FV = PV·(1 + i)ⁿ pour les montants uniques et les formules d’annuités pour les versements constants.
Vérifiez le signe et l’ordre de grandeur de la réponse.

VAN et TRI

Valeur actuelle nette: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Flux égaux: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Taux de rendement interne: le r pour lequel NPV = 0
Décision: accepter si NPV > 0 (ou IRR > rendement exigé)

Méthode

Listez tous les flux de trésorerie avec leur année ; l’investissement de l’année 0 est négatif.
Actualisez chaque flux : CF_t/(1 + r)^t.
Additionnez-les pour obtenir la VAN. Une valeur positive signifie que le projet rapporte plus que r.
Pour le TRI, trouvez le taux qui annule la VAN, par tâtonnement ou par interpolation.

Prix et rendement des obligations

Prix de l’obligation: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Coupons semestriels: C/2, y/2 et 2n périodes
Rendement courant: C/P
Prix et rendement: rendement en hausse → prix en baisse

Méthode

Trouvez le coupon par période et le rendement par période.
Prix = valeur actuelle des coupons (une annuité) + valeur actuelle de la valeur nominale.
Pour des coupons semestriels, prenez la moitié du coupon, la moitié du rendement et deux fois plus de périodes.
Vérification : si le rendement est supérieur au taux du coupon, le prix est inférieur à la valeur nominale.

CAPM et WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valeur de l’entreprise: V = E + D

Seuil de rentabilité

Marge sur coût variable: CM = p − v
Quantité au seuil de rentabilité: Q_BE = FC/(p − v)
Bénéfice visé: Q = (FC + profit)/(p − v)
Bénéfice: π = (p − v)·Q − FC
Marge de sécurité: (Q − Q_BE)/Q

2Exercices

1.Valeur temps de l'argentMoyen

Tu as besoin de €15 000 dans 6 ans. Un compte rapporte 3,6 % par an, capitalisés mensuellement. Combien dois-tu déposer aujourd'hui ? Calcule la valeur actuelle PV.

FV = €15 0003,6% / 12n = 6

PV = €

2.Valeur temps de l'argentDifficile

Tu épargnes €100 à la fin de chaque mois pendant 25 ans. Le compte rapporte 3,6 % par an, capitalisés mensuellement. Combien as-tu épargné à la fin ? Calcule FV.

A = €1003,6% / 12N = 300

FV = €

3.VAN et TRIMoyen

Un projet coûte €400 000 aujourd’hui. Il génère €29 000 à la fin de la première année, puis le flux croît de 4 % par an indéfiniment. Le coût du capital est de 10 %. Trouvez la valeur actuelle nette NPV.

C₀ = €400 000CF₁ = €29 000g = 4%r = 10%

NPV = €

4.VAN et TRIDifficile

Un investissement de €10 000 rapporte €1 500 à la fin de chaque année pendant 9 ans. Trouvez son taux de rendement interne IRR en pourcentage.

C₀ = €10 000CF = €1 500n = 9

IRR = %

5.Prix et rendement des obligationsMoyen

Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 2% et arrive à échéance dans 4 ans. Son taux de rendement actuariel passe de 4% à 3,5%. De combien ΔP le prix de l’obligation varie-t-il ?

F = €1 000coupon = 2%n = 4y₁ = 4%y₂ = 3,5%

ΔP = €

6.Prix et rendement des obligationsDifficile

Une obligation cote €1 030 avec un taux de rendement actuariel de 5% (capitalisation annuelle) et une duration de Macaulay de 7,7 ans. Utilisez la duration modifiée pour estimer le nouveau prix P si le rendement baisse de 75 points de base.

P₀ = €1 030y = 5%D = 7,7Δy = −75 bp

P = €

7.CAPM et WACCMoyen

Une entreprise a des capitaux propres de €2 000 000 et une dette de €1 000 000. Son coût des capitaux propres est de 14%, son coût de la dette avant impôt de 3,5% et le taux d’imposition de 20%. Trouvez le WACC.

E = €2 000 000D = €1 000 000r_e = 14%r_d = 3,5%T = 20%

WACC = %

8.CAPM et WACCDifficile

Une entreprise a 2 500 000 actions à €52,00 chacune et 20 000 obligations cotées €1 050 chacune. Le coût de la dette avant impôt est de 6% et le taux d’imposition de 30%. Le bêta de l’action est de 1,1, le taux sans risque de 3,5% et la rentabilité du marché de 10%. Trouvez le WACC.

β = 1,1r_f = 3,5%r_m = 10%r_d = 6%T = 30%

WACC = %

9.Seuil de rentabilitéMoyen

Une entreprise vend 2 500 unités à €20 chacune. Le coût variable est de €15 par unité et les coûts fixes s’élèvent à €10 000. Trouvez le degré de levier opérationnel DOL à ce niveau de ventes.

Q = 2 500p = €20v = €15F = €10 000

DOL =

10.Seuil de rentabilitéDifficile

Un produit se vend €11 l'unité, avec un coût variable de €6 par unité et des coûts fixes de €5 000 par an. Les ventes prévues sont de 1 150 unités. Calcule la marge de sécurité MS en pourcentage des ventes prévues.

F = €5 000p = €11v = €6prévision = 1 150

MS = %

3Solutions

1.Valeur temps de l'argent

Réponse: PV = 12090 €

Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)ⁿ. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.

Taux et nombre de périodes

i = 0,036000000000000004/12 = 0,003

N = 12·6 = 72

Valeur actuelle

PV = FV/(1 + i)^N = 15 000/1,241 = €12 089,94

Réponse

PV = €12 089,94

2.Valeur temps de l'argent

Réponse: FV = 48543 €

Taux mensuel et nombre de versements

i = 0,036000000000000004/12 = 0,003

N = 12·25 = 300

Valeur future des versements

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 100·(2,456 − 1)/0,003 = €48 543,05

Réponse

FV = €48 543,05

Tu as versé toi-même €30 000 ; le reste, ce sont des intérêts.

3.VAN et TRI

Réponse: NPV = 83333 €

Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.

Valeur des flux

PV = 29 000/(0,1 − 0,04) = 483 333,33

NPV

NPV = 483 333,33 − 400 000 = €83 333,33

Réponse

NPV = €83 333,33

La VAN est positive : le projet rapporte plus que le rendement exigé.

4.VAN et TRI

Réponse: IRR = 6,463 %

Facteur d’annuité requis

(1 − (1 + i)⁻⁹)/i = 10 000/1 500 = 6,667

Trouver le taux

Le facteur d’annuité diminue quand le taux augmente ; encadrez le taux et resserrez l’encadrement.

i = 6%: 6,802

i = 7%: 6,515

IRR = 6,463%

Réponse

IRR = 6,463%

5.Prix et rendement des obligations

Réponse: ΔP = 17,5 €

Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.

Prix à l’ancien rendement

C = €20,00, i = 0,04, N = 4

€20,00·(1 − 0,8548)/0,04 + €1 000·0,8548 = €72,60 + €854,80 = €927,40

Prix au nouveau rendement

C = €20,00, i = 0,035, N = 4

€20,00·(1 − 0,8714)/0,035 + €1 000·0,8714 = €73,46 + €871,44 = €944,90

Variation

ΔP = 944,90 − 927,40 = €17,50

Réponse

ΔP = €17,50

6.Prix et rendement des obligations

Réponse: P = 1087 €

Duration : la duration de Macaulay est la date moyenne pondérée à laquelle une obligation verse ses flux, avec les valeurs actuelles des flux comme poids : D = Σ t·PVₜ/P. La duration modifiée D/(1 + y) estime la variation en pourcentage du prix pour une petite variation du rendement : %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Duration modifiée

D_mod = 7,7/1,05 = 7,333

Variation de prix estimée

%ΔP ≈ −7,333·(−0,0075) = 5,5%

P ≈ 1030·(1 + 0,055) = €1 086,65

Réponse

P = €1 086,65

La duration est une estimation linéaire ; pour de fortes variations de rendement, la convexité rend le vrai prix un peu plus élevé.

7.CAPM et WACC

Réponse: WACC = 10,27 %

Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).

Pondérations

V = €3 000 000, E/V = 0,6667, D/V = 0,3333

WACC

WACC = 0,6667·14% + 0,3333·3,5%·(1 − 0,2) = 10,27%

Réponse

WACC = 10,27%

8.CAPM et WACC

Réponse: WACC = 9,753 %

Valeurs de marché

E = 2 500 000·€52,00 = €130 000 000

D = 20 000·€1 050 = €21 000 000

Coût des capitaux propres (CAPM)

r_e = 3,5% + 1,1·6,5% = 10,65%

Pondérations

V = €151 000 000, E/V = 0,8609, D/V = 0,1391

WACC

WACC = 0,8609·10,65% + 0,1391·6%·(1 − 0,3) = 9,753%

Réponse

WACC = 9,753%

9.Seuil de rentabilité

Réponse: DOL = 5

Levier opérationnel : les coûts fixes font réagir le bénéfice plus fortement que les ventes. Le degré de levier opérationnel DOL = marge sur coût variable/résultat d’exploitation indique qu’une variation de 1 % des ventes modifie le bénéfice de DOL %. Il est très élevé juste au-dessus du seuil de rentabilité et diminue quand les ventes augmentent.

Marge sur coût variable totale

CM = 2 500·(20 − 15) = €12 500

Résultat d’exploitation

Π = 12 500 − 10 000 = €2 500

DOL

DOL = 12 500/2 500 = 5

Réponse

DOL = 5

10.Seuil de rentabilité

Réponse: MS = 13,04 %

Coût-volume-profit : chaque unité vendue rapporte une marge sur coût variable, le prix moins le coût variable unitaire. Bénéfice = Q·(p − v) − F, où F est le coût fixe. Au seuil de rentabilité le bénéfice est nul, donc Q = F/(p − v).

Quantité au seuil de rentabilité

Q = F/(p − v) = 5 000/5 = 1 000

Marge de sécurité

MS = (1 150 − 1 000)/1 150·100 = 13,04%

Réponse

MS = 13,04%

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