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1Formules et méthodes
Valeur temps de l'argent
Valeur future
FV = PV·(1 + i)n
Valeur actuelle
PV = FV/(1 + i)n
Plusieurs périodes par an
i = r/m, N = m·n
Annuités, valeur actuelle
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Annuités, valeur future
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Méthode
Tracez un axe du temps avec chaque flux de trésorerie et sa date.
Faites correspondre le taux à la période : un taux mensuel pour des versements mensuels.
Utilisez FV = PV·(1 + i)ⁿ pour les montants uniques et les formules d’annuités pour les versements constants.
Vérifiez le signe et l’ordre de grandeur de la réponse.
VAN et TRI
Valeur actuelle nette
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flux égaux
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taux de rendement interne
le r pour lequel NPV = 0
Décision
accepter si NPV > 0 (ou IRR > rendement exigé)
Méthode
Listez tous les flux de trésorerie avec leur année ; l’investissement de l’année 0 est négatif.
Actualisez chaque flux : CFt/(1 + r)t.
Additionnez-les pour obtenir la VAN. Une valeur positive signifie que le projet rapporte plus que r.
Pour le TRI, trouvez le taux qui annule la VAN, par tâtonnement ou par interpolation.
Prix et rendement des obligations
Prix de l’obligation
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Coupons semestriels
C/2, y/2 et 2n périodes
Rendement courant
C/P
Prix et rendement
rendement en hausse → prix en baisse
Méthode
Trouvez le coupon par période et le rendement par période.
Prix = valeur actuelle des coupons (une annuité) + valeur actuelle de la valeur nominale.
Pour des coupons semestriels, prenez la moitié du coupon, la moitié du rendement et deux fois plus de périodes.
Vérification : si le rendement est supérieur au taux du coupon, le prix est inférieur à la valeur nominale.
CAPM et WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valeur de l’entreprise
V = E + D
Seuil de rentabilité
Marge sur coût variable
CM = p − v
Quantité au seuil de rentabilité
QBE = FC/(p − v)
Bénéfice visé
Q = (FC + profit)/(p − v)
Bénéfice
π = (p − v)·Q − FC
Marge de sécurité
(Q − QBE)/Q
2Exercices
1.Valeur temps de l'argentMoyen
Une carte de crédit applique un taux d’intérêt nominal de 16 % par an, capitalisé trimestriellement. Trouvez le taux annuel effectif EAR en pourcentage.
r = 16%m = 4
EAR = %
2.Valeur temps de l'argentDifficile
Un prêt de €200 000 est remboursé par mensualités égales sur 25 ans. Le taux d'intérêt est de 2,4 % par an, capitalisés mensuellement. Calcule la mensualité A.
P = €200 0002,4% / 12N = 300
A = €
3.VAN et TRIMoyen
Une machine coûte €40 000 aujourd’hui, dure 5 ans et coûte €5 000 par an en fonctionnement (payés à la fin de chaque année). Le coût du capital est de 8 %. Trouvez son coût annuel équivalent EAC.
C0 = €40 000M = €5 000n = 5r = 8%
EAC = €
4.VAN et TRIDifficile
Un projet coûte €25 000 et rapporte €18 500, €14 000 à la fin des années 1 à 2. Calcule son taux de rendement interne IRR en pourcentage.
CF0 = −25 000CF1 = 18 500CF2 = 14 000
IRR = %
5.Prix et rendement des obligationsMoyen
Vous achetez une obligation à 12 ans de l’échéance (valeur nominale €1 000, coupon annuel 6%) quand son taux de rendement actuariel est de 3%. Un an plus tard, juste après avoir perçu le premier coupon, vous la revendez quand le taux de rendement actuariel est de 4%. Trouvez votre rendement sur la période de détention HPR en pourcentage.
F = €1 000coupon = 6%n = 12y0 = 3%y1 = 4%
HPR = %
6.Prix et rendement des obligationsDifficile
Une obligation de valeur nominale €1 000 avec un coupon annuel de 7% arrive à échéance dans 4 ans et se vend €965. Trouvez son taux de rendement actuariel YTM en pourcentage.
F = €1 000coupon = 7%n = 4P = €965
YTM = %
7.CAPM et WACCMoyen
Une entreprise a des capitaux propres de €8 000 000 et une dette de €2 000 000. Son coût des capitaux propres est de 9%, son coût de la dette avant impôt de 3,5% et le taux d’imposition de 20%. Trouvez le WACC.
L’activité d’une entreprise a un bêta désendetté (bêta de l’actif) de 0,9. Elle prévoit un ratio dette/capitaux propres de 1. Le taux d’imposition est de 21%, le taux sans risque de 3,5% et la prime de risque du marché de 6,5%. Trouvez le coût des capitaux propres re avec la nouvelle structure du capital.
βU = 0,9D/E = 1T = 21%rf = 3,5%rm − rf = 6,5%
re = %
9.Seuil de rentabilitéMoyen
Un produit se vend €50 avec un coût variable de €45 par unité. Les coûts fixes s’élèvent à €6 000 par mois et le bénéfice est imposé à 20 %. Combien d’unités Q faut-il vendre par mois pour gagner €1 000 après impôt ?
p = €50v = €45F = €6 000T = 20%bénéfice après impôt = €1 000
Q = unités
10.Seuil de rentabilitéDifficile
Un produit se vend €16 l'unité, avec un coût variable de €8 par unité et des coûts fixes de €12 000 par an. Les ventes prévues sont de 1 800 unités. Calcule la marge de sécurité MS en pourcentage des ventes prévues.
F = €12 000p = €16v = €8prévision = 1 800
MS = %
3Solutions
1.Valeur temps de l'argent
Réponse: EAR = 16,99 %
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Taux par période
r/m = 0,16/4 = 0,04
Capitaliser sur un an
EAR = (1 + 0,04)4 − 1 = 1,17 − 1 = 16,99%
Réponse
EAR = 16,99%
Le taux annuel effectif est toujours supérieur au taux nominal quand les intérêts sont capitalisés plus d’une fois par an.
2.Valeur temps de l'argent
Réponse: A = 887,2 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Taux mensuel et nombre de mensualités
i = 0,024/12 = 0,002
N = 12·25 = 300
Mensualité
La valeur actuelle de N paiements égaux A vaut A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Égale-la au prêt et résous pour A.
(1 + i)−N = 0,5491
A = 200 000·0,002/(1 − 0,5491) = €887,19
Réponse
A = €887,19
3.VAN et TRI
Réponse: EAC = 15018 €
Coût annuel équivalent : répartissez la valeur actuelle de tous les coûts sur la durée de vie sous forme d’un montant annuel constant (une annuité) : EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Cela permet de comparer des machines de durées de vie différentes.
Facteur d’annuité
(1 − 1,08−5)/0,08 = 3,993
Prix d’achat annualisé
40 000/3,993 = 10 018,26
EAC
EAC = 10 018,26 + 5 000 = €15 018,26
Réponse
EAC = €15 018,26
4.VAN et TRI
Réponse: IRR = 20,48 %
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Encadrer le TRI
La VAN baisse quand le taux augmente, donc le TRI se trouve entre un taux à VAN positive et un taux à VAN négative.
NPV(20%) = 138,89
NPV(25%) = −1 240,00
Resserrer
L'interpolation linéaire donne une première estimation ; la répéter (ou utiliser la fonction TRI d'une calculatrice) donne le taux exact.
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Équation du rendement
€965 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴
Résoudre numériquement
P(8%) = €966,88, P(9%) = €935,21
YTM = 8,058%
Réponse
YTM = 8,058%
7.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 7,76 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Pondérations
V = €10 000 000, E/V = 0,8, D/V = 0,2
WACC
WACC = 0,8·9% + 0,2·3,5%·(1 − 0,2) = 7,76%
Réponse
WACC = 7,76%
8.CAPM et WACC
Réponse: re = 13,97 %
Bêta endetté (Hamada) : la dette rend les capitaux propres plus risqués. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), où βU est le bêta de l’activité sans dette. Pour transposer un bêta à une autre structure du capital, désendettez-le d’abord, puis réendettez-le au nouveau D/E.
Bêta endetté
βL = 0,9·(1 + 0,79·1) = 1,611
Coût des capitaux propres (CAPM)
re = 3,5% + 1,611·6,5% = 13,97%
Réponse
re = 13,97%
9.Seuil de rentabilité
Réponse: Q = 1450 unités
Coût-volume-profit : chaque unité vendue rapporte une marge sur coût variable, le prix moins le coût variable unitaire. Bénéfice = Q·(p − v) − F, où F est le coût fixe. Au seuil de rentabilité le bénéfice est nul, donc Q = F/(p − v).
Bénéfice avant impôt nécessaire
1 000/(1 − 0,2) = €1 250
Unités nécessaires
Q = (6 000 + 1 250)/5 = 1 450
Réponse
Q = 1 450 unités
10.Seuil de rentabilité
Réponse: MS = 16,67 %
Coût-volume-profit : chaque unité vendue rapporte une marge sur coût variable, le prix moins le coût variable unitaire. Bénéfice = Q·(p − v) − F, où F est le coût fixe. Au seuil de rentabilité le bénéfice est nul, donc Q = F/(p − v).