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1Formules et méthodes
Valeur temps de l'argent
Valeur future
FV = PV·(1 + i)n
Valeur actuelle
PV = FV/(1 + i)n
Plusieurs périodes par an
i = r/m, N = m·n
Annuités, valeur actuelle
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Annuités, valeur future
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Méthode
Tracez un axe du temps avec chaque flux de trésorerie et sa date.
Faites correspondre le taux à la période : un taux mensuel pour des versements mensuels.
Utilisez FV = PV·(1 + i)ⁿ pour les montants uniques et les formules d’annuités pour les versements constants.
Vérifiez le signe et l’ordre de grandeur de la réponse.
VAN et TRI
Valeur actuelle nette
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flux égaux
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taux de rendement interne
le r pour lequel NPV = 0
Décision
accepter si NPV > 0 (ou IRR > rendement exigé)
Méthode
Listez tous les flux de trésorerie avec leur année ; l’investissement de l’année 0 est négatif.
Actualisez chaque flux : CFt/(1 + r)t.
Additionnez-les pour obtenir la VAN. Une valeur positive signifie que le projet rapporte plus que r.
Pour le TRI, trouvez le taux qui annule la VAN, par tâtonnement ou par interpolation.
Prix et rendement des obligations
Prix de l’obligation
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Coupons semestriels
C/2, y/2 et 2n périodes
Rendement courant
C/P
Prix et rendement
rendement en hausse → prix en baisse
Méthode
Trouvez le coupon par période et le rendement par période.
Prix = valeur actuelle des coupons (une annuité) + valeur actuelle de la valeur nominale.
Pour des coupons semestriels, prenez la moitié du coupon, la moitié du rendement et deux fois plus de périodes.
Vérification : si le rendement est supérieur au taux du coupon, le prix est inférieur à la valeur nominale.
CAPM et WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valeur de l’entreprise
V = E + D
Seuil de rentabilité
Marge sur coût variable
CM = p − v
Quantité au seuil de rentabilité
QBE = FC/(p − v)
Bénéfice visé
Q = (FC + profit)/(p − v)
Bénéfice
π = (p − v)·Q − FC
Marge de sécurité
(Q − QBE)/Q
2Exercices
1.Valeur temps de l'argentMoyen
Tu as besoin de €20 000 dans 6 ans. Un compte rapporte 5 % par an, capitalisés trimestriellement. Combien dois-tu déposer aujourd'hui ? Calcule la valeur actuelle PV.
FV = €20 0005% / 4n = 6
PV = €
2.Valeur temps de l'argentDifficile
Vous empruntez €5 000 à 4,2 % par an, capitalisé mensuellement, et remboursez €150 à la fin de chaque mois. Combien de mois faut-il pour rembourser le prêt (le dernier versement peut être plus petit) ? Donnez le nombre de versements N.
P = €5 000A = €1504,2% / 12
N = versements
3.VAN et TRIMoyen
Un investissement de €75 000 donne ces flux à la fin des années 1 à 4 : €32 000, €32 000, €36 000, €29 000. Le coût du capital est de 6 %. Calcule la valeur actuelle nette NPV.
Un projet coûte €80 000 aujourd’hui. Son flux vaut €13 500 à la fin de l’année 1 et croît de 5 % par an jusqu’au dernier flux à la fin de l’année 7. Le coût du capital est de 10 %. Trouvez la valeur actuelle nette NPV.
C0 = €80 000CF1 = €13 500g = 5%n = 7r = 10%
NPV = €
5.Prix et rendement des obligationsMoyen
Vous achetez une obligation à 7 ans de l’échéance (valeur nominale €1 000, coupon annuel 4,5%) quand son taux de rendement actuariel est de 8%. Un an plus tard, juste après avoir perçu le premier coupon, vous la revendez quand le taux de rendement actuariel est de 9%. Trouvez votre rendement sur la période de détention HPR en pourcentage.
F = €1 000coupon = 4,5%n = 7y0 = 8%y1 = 9%
HPR = %
6.Prix et rendement des obligationsDifficile
Une obligation à 11 ans de l’échéance (valeur nominale €1 000, coupon annuel 9%) se vend €1 071. L’émetteur peut la rembourser par anticipation dans 5 ans à un prix de remboursement anticipé de €1 090. Trouvez le rendement au remboursement anticipé YTC en pourcentage.
F = €1 000coupon = 9%P = €1 071prix de remboursement anticipé = €1 090remboursement anticipé dans 5 ans
YTC = %
7.CAPM et WACCMoyen
Une entreprise est financée par des actions ordinaires valant €5 000 000, des actions privilégiées valant €2 000 000 et une dette valant €5 000 000. Le coût des capitaux propres est de 9%, le coût des actions privilégiées de 6% et le coût de la dette avant impôt de 4,5%. Le taux d’imposition est de 28%. Trouvez le WACC.
Une entreprise a 1 000 000 actions à €32,50 chacune et 40 000 obligations cotées €1 020 chacune. Le coût de la dette avant impôt est de 4% et le taux d’imposition de 30%. Le bêta de l’action est de 0,9, le taux sans risque de 1,5% et la rentabilité du marché de 6,5%. Trouvez le WACC.
β = 0,9rf = 1,5%rm = 6,5%rd = 4%T = 30%
WACC = %
9.Seuil de rentabilitéMoyen
Un produit se vend €27 l'unité avec un coût variable de €25 par unité. Les coûts fixes sont de €5 000 par mois. Combien d'unités Q faut-il vendre par mois pour faire un bénéfice de €2 000 ?
F = €5 000p = €27v = €25bénéfice = €2 000
Q = unités
10.Seuil de rentabilitéDifficile
Une entreprise vend 750 unités par mois à €25 chacune, avec un coût variable de €15 par unité et des coûts fixes de €5 000 par mois. Le coût variable augmente de €5 par unité et le prix reste le même. Combien d’unités Q faut-il désormais vendre par mois pour conserver le même bénéfice ?
Q = 750p = €25v = €15 → €20F = €5 000
Q = unités
3Solutions
1.Valeur temps de l'argent
Réponse: PV = 14844 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Taux et nombre de périodes
i = 0,05/4 = 0,0125
N = 4·6 = 24
Valeur actuelle
PV = FV/(1 + i)N = 20 000/1,347 = €14 843,94
Réponse
PV = €14 843,94
2.Valeur temps de l'argent
Réponse: N = 36 versements
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Réarranger la formule d’annuité
i = 0,0035
(1 + i)−N = 1 − 5 000·0,0035/150 = 0,8833
Résoudre avec les logarithmes
N = −ln(0,8833)/ln(1,004) = 35,51
Arrondir au nombre entier de versements supérieur
35 versements complets laissent un petit solde, que le dernier versement, plus petit, solde.
N = 36
Réponse
N = 36 versements
3.VAN et TRI
Réponse: NPV = 36866 €
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Valeur actuelle de chaque flux
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,06)1 = 32 000/1,06 = 30 188,68
CF2/(1 + 0,06)2 = 32 000/1,124 = 28 479,89
CF3/(1 + 0,06)3 = 36 000/1,191 = 30 226,29
CF4/(1 + 0,06)4 = 29 000/1,262 = 22 970,72
Additionner
NPV = €36 865,58
Réponse
NPV = €36 865,58
La VAN est positive : le projet rapporte plus que le rendement exigé.
4.VAN et TRI
Réponse: NPV = −4958 €
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Valeur actuelle de l’annuité croissante
((1,05)/(1,1))7 = 0,7221
PV = 13 500/(0,1 − 0,05)·(1 − 0,7221) = 75 042,45
NPV
NPV = 75 042,45 − 80 000 = −€4 957,55
Réponse
NPV = −€4 957,55
La VAN est négative : le projet rapporte moins que le rendement exigé.
5.Prix et rendement des obligations
Réponse: HPR = 3,101 %
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Équation du rendement
1071 = 90·(1 − (1 + y)−5)/y + 1090/(1 + y)5
Résoudre numériquement
y = 8%: €1 101,18
y = 9%: €1 058,49
YTC = 8,702%
Réponse
YTC = 8,702%
Le taux de rendement actuariel à l’échéance est de 8,005%. Les investisseurs d’une obligation cotant au-dessus du pair s’attendent à un remboursement anticipé, donc le rendement au remboursement anticipé, plus faible, est le plus réaliste.
7.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 6,1 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Valeurs de marché
E = 1 000 000·€32,50 = €32 500 000
D = 40 000·€1 020 = €40 800 000
Coût des capitaux propres (CAPM)
re = 1,5% + 0,9·5% = 6%
Pondérations
V = €73 300 000, E/V = 0,4434, D/V = 0,5566
WACC
WACC = 0,4434·6% + 0,5566·4%·(1 − 0,3) = 4,219%
Réponse
WACC = 4,219%
9.Seuil de rentabilité
Réponse: Q = 3500 unités
Coût-volume-profit : chaque unité vendue rapporte une marge sur coût variable, le prix moins le coût variable unitaire. Bénéfice = Q·(p − v) − F, où F est le coût fixe. Au seuil de rentabilité le bénéfice est nul, donc Q = F/(p − v).
Coût-volume-profit : chaque unité vendue rapporte une marge sur coût variable, le prix moins le coût variable unitaire. Bénéfice = Q·(p − v) − F, où F est le coût fixe. Au seuil de rentabilité le bénéfice est nul, donc Q = F/(p − v).