Finance d’entreprise : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 10 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Valeur temps de l'argent

Valeur future: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valeur actuelle: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Plusieurs périodes par an: i = r/m, N = m·n
Annuités, valeur actuelle: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Annuités, valeur future: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Méthode

Tracez un axe du temps avec chaque flux de trésorerie et sa date.
Faites correspondre le taux à la période : un taux mensuel pour des versements mensuels.
Utilisez FV = PV·(1 + i)ⁿ pour les montants uniques et les formules d’annuités pour les versements constants.
Vérifiez le signe et l’ordre de grandeur de la réponse.

VAN et TRI

Valeur actuelle nette: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Flux égaux: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Taux de rendement interne: le r pour lequel NPV = 0
Décision: accepter si NPV > 0 (ou IRR > rendement exigé)

Méthode

Listez tous les flux de trésorerie avec leur année ; l’investissement de l’année 0 est négatif.
Actualisez chaque flux : CF_t/(1 + r)^t.
Additionnez-les pour obtenir la VAN. Une valeur positive signifie que le projet rapporte plus que r.
Pour le TRI, trouvez le taux qui annule la VAN, par tâtonnement ou par interpolation.

Prix et rendement des obligations

Prix de l’obligation: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Coupons semestriels: C/2, y/2 et 2n périodes
Rendement courant: C/P
Prix et rendement: rendement en hausse → prix en baisse

Méthode

Trouvez le coupon par période et le rendement par période.
Prix = valeur actuelle des coupons (une annuité) + valeur actuelle de la valeur nominale.
Pour des coupons semestriels, prenez la moitié du coupon, la moitié du rendement et deux fois plus de périodes.
Vérification : si le rendement est supérieur au taux du coupon, le prix est inférieur à la valeur nominale.

CAPM et WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valeur de l’entreprise: V = E + D

Seuil de rentabilité

Marge sur coût variable: CM = p − v
Quantité au seuil de rentabilité: Q_BE = FC/(p − v)
Bénéfice visé: Q = (FC + profit)/(p − v)
Bénéfice: π = (p − v)·Q − FC
Marge de sécurité: (Q − Q_BE)/Q

2Exercices

1.Valeur temps de l'argentMoyen

Tu as besoin de €25 000 dans 3 ans. Un compte rapporte 3 % par an, capitalisés mensuellement. Combien dois-tu déposer aujourd'hui ? Calcule la valeur actuelle PV.

FV = €25 0003% / 12n = 3

PV = €

2.Valeur temps de l'argentDifficile

Un prêt de €150 000 est remboursé par mensualités égales sur 20 ans. Le taux d'intérêt est de 3,6 % par an, capitalisés mensuellement. Calcule la mensualité A.

P = €150 0003,6% / 12N = 240

A = €

3.VAN et TRIMoyen

Un projet coûte €20 000 aujourd’hui et rapporte €5 000 à la fin de chaque année pendant 6 ans. Le coût du capital est de 5 %. Supposez que les flux arrivent régulièrement au cours de chaque année. Trouvez le délai de récupération actualisé DPB en années.

r = 5%CF₀ = −20 000CF₁ = 5 000CF₂ = 5 000CF₃ = 5 000CF₄ = 5 000CF₅ = 5 000CF₆ = 5 000

DPB = ans

4.VAN et TRIDifficile

Un projet coûte €20 000 et rapporte €10 000, €12 500 à la fin des années 1 à 2. Calcule son taux de rendement interne IRR en pourcentage.

CF₀ = −20 000CF₁ = 10 000CF₂ = 12 500

IRR = %

5.Prix et rendement des obligationsMoyen

Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 4% en deux versements semestriels et arrive à échéance dans 4 ans. Le taux de rendement actuariel est de 3,5% par an. Trouvez le prix P de l’obligation.

F = €1 000coupon = 4%YTM = 3,5%n = 4

P = €

6.Prix et rendement des obligationsDifficile

Une obligation cote €1 060 avec un taux de rendement actuariel de 7% (capitalisation annuelle) et une duration de Macaulay de 9,5 ans. Utilisez la duration modifiée pour estimer le nouveau prix P si le rendement baisse de 150 points de base.

P₀ = €1 060y = 7%D = 9,5Δy = −150 bp

P = €

7.CAPM et WACCMoyen

Une entreprise a des capitaux propres de €6 000 000 et une dette de €6 000 000. Son coût des capitaux propres est de 9%, son coût de la dette avant impôt de 5% et le taux d’imposition de 21%. Trouvez le WACC.

E = €6 000 000D = €6 000 000r_e = 9%r_d = 5%T = 21%

WACC = %

8.CAPM et WACCDifficile

Une entreprise a 1 000 000 actions à €44,00 chacune et 40 000 obligations cotées €980 chacune. Le coût de la dette avant impôt est de 6% et le taux d’imposition de 25,8%. Le bêta de l’action est de 1,3, le taux sans risque de 1,5% et la rentabilité du marché de 8,5%. Trouvez le WACC.

β = 1,3r_f = 1,5%r_m = 8,5%r_d = 6%T = 25,8%

WACC = %

9.Seuil de rentabilitéMoyen

Une entreprise vend 1 500 unités à €35 chacune. Le coût variable est de €25 par unité et les coûts fixes s’élèvent à €5 000. Trouvez le degré de levier opérationnel DOL à ce niveau de ventes.

Q = 1 500p = €35v = €25F = €5 000

DOL =

10.Seuil de rentabilitéDifficile

Un produit se vend €53 l'unité, avec un coût variable de €45 par unité et des coûts fixes de €40 000 par an. Les ventes prévues sont de 6 250 unités. Calcule la marge de sécurité MS en pourcentage des ventes prévues.

F = €40 000p = €53v = €45prévision = 6 250

MS = %

3Solutions

1.Valeur temps de l'argent

Réponse: PV = 22851 €

Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)ⁿ. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.

Taux et nombre de périodes

i = 0,03/12 = 0,0025

N = 12·3 = 36

Valeur actuelle

PV = FV/(1 + i)^N = 25 000/1,094 = €22 850,85

Réponse

PV = €22 850,85

2.Valeur temps de l'argent

Réponse: A = 877,7 €

Taux mensuel et nombre de mensualités

i = 0,036000000000000004/12 = 0,003

N = 12·20 = 240

Mensualité

La valeur actuelle de N paiements égaux A vaut A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Égale-la au prêt et résous pour A.

(1 + i)^−N = 0,4873

A = 150 000·0,003/(1 − 0,4873) = €877,67

Réponse

A = €877,67

3.VAN et TRI

Réponse: DPB = 4,579 ans

Délai de récupération : le temps nécessaire pour que les flux de trésorerie cumulés remboursent l’investissement initial. On suppose que la trésorerie arrive régulièrement au cours de chaque année, donc la dernière partie est une fraction d’année. Le délai de récupération simple ignore la valeur temps de l’argent ; le délai de récupération actualisé utilise à la place les flux actualisés.

Flux actualisés et cumulés

année 1: 5 000/1,05 = 4 761,90 → Σ = 4 761,90

année 2: 5 000/1,103 = 4 535,15 → Σ = 9 297,05

année 3: 5 000/1,158 = 4 319,19 → Σ = 13 616,24

année 4: 5 000/1,216 = 4 113,51 → Σ = 17 729,75

année 5: 5 000/1,276 = 3 917,63 → Σ = 21 647,38

Fraction de la dernière année

DPB = 4 + 2 270,25/3 917,63 = 4,579

Réponse

DPB = 4,579 ans

Le délai de récupération actualisé est toujours plus long que le délai de récupération simple (4 ans).

4.VAN et TRI

Réponse: IRR = 7,916 %

Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.

Encadrer le TRI

La VAN baisse quand le taux augmente, donc le TRI se trouve entre un taux à VAN positive et un taux à VAN négative.

NPV(5%) = 861,68

NPV(10%) = −578,51

Resserrer

L'interpolation linéaire donne une première estimation ; la répéter (ou utiliser la fonction TRI d'une calculatrice) donne le taux exact.

IRR ≈ 5 + 5·861,68/(861,68 − (−578,51)) = 7,992%

exact: NPV(7,916%) = 0 → IRR = 7,916%

Réponse

IRR = 7,916%

5.Prix et rendement des obligations

Réponse: P = 1019 €

Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.

Par période

C = €20,00, i = 0,0175, N = 8

Valeur actuelle des coupons

€20,00·(1 − 0,8704)/0,0175 = €148,10

Valeur actuelle du nominal

€1 000·0,8704 = €870,41

Prix

P = €1 018,51

Réponse

P = €1 018,51

Le rendement est inférieur au taux du coupon, donc l’obligation se vend avec une prime (au-dessus du pair).

6.Prix et rendement des obligations

Réponse: P = 1201 €

Duration : la duration de Macaulay est la date moyenne pondérée à laquelle une obligation verse ses flux, avec les valeurs actuelles des flux comme poids : D = Σ t·PVₜ/P. La duration modifiée D/(1 + y) estime la variation en pourcentage du prix pour une petite variation du rendement : %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Duration modifiée

D_mod = 9,5/1,07 = 8,879

Variation de prix estimée

%ΔP ≈ −8,879·(−0,015) = 13,32%

P ≈ 1060·(1 + 0,1332) = €1 201,17

Réponse

P = €1 201,17

La duration est une estimation linéaire ; pour de fortes variations de rendement, la convexité rend le vrai prix un peu plus élevé.

7.CAPM et WACC

Réponse: WACC = 6,475 %

Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).

Pondérations

V = €12 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5

WACC

WACC = 0,5·9% + 0,5·5%·(1 − 0,21) = 6,475%

Réponse

WACC = 6,475%

8.CAPM et WACC

Réponse: WACC = 7,703 %

Valeurs de marché

E = 1 000 000·€44,00 = €44 000 000

D = 40 000·€980 = €39 200 000

Coût des capitaux propres (CAPM)

r_e = 1,5% + 1,3·7% = 10,6%

Pondérations

V = €83 200 000, E/V = 0,5288, D/V = 0,4712

WACC

WACC = 0,5288·10,6% + 0,4712·6%·(1 − 0,258) = 7,703%

Réponse

WACC = 7,703%

9.Seuil de rentabilité

Réponse: DOL = 1,5

Levier opérationnel : les coûts fixes font réagir le bénéfice plus fortement que les ventes. Le degré de levier opérationnel DOL = marge sur coût variable/résultat d’exploitation indique qu’une variation de 1 % des ventes modifie le bénéfice de DOL %. Il est très élevé juste au-dessus du seuil de rentabilité et diminue quand les ventes augmentent.

Marge sur coût variable totale

CM = 1 500·(35 − 25) = €15 000

Résultat d’exploitation

Π = 15 000 − 5 000 = €10 000

DOL

DOL = 15 000/10 000 = 1,5

Réponse

DOL = 1,5

10.Seuil de rentabilité

Réponse: MS = 20 %

Coût-volume-profit : chaque unité vendue rapporte une marge sur coût variable, le prix moins le coût variable unitaire. Bénéfice = Q·(p − v) − F, où F est le coût fixe. Au seuil de rentabilité le bénéfice est nul, donc Q = F/(p − v).

Quantité au seuil de rentabilité

Q = F/(p − v) = 40 000/8 = 5 000

Marge de sécurité

MS = (6 250 − 5 000)/6 250·100 = 20%

Réponse

MS = 20%

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