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1Formules et méthodes
Valeur temps de l'argent
Valeur future
FV = PV·(1 + i)n
Valeur actuelle
PV = FV/(1 + i)n
Plusieurs périodes par an
i = r/m, N = m·n
Annuités, valeur actuelle
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Annuités, valeur future
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Méthode
Tracez un axe du temps avec chaque flux de trésorerie et sa date.
Faites correspondre le taux à la période : un taux mensuel pour des versements mensuels.
Utilisez FV = PV·(1 + i)ⁿ pour les montants uniques et les formules d’annuités pour les versements constants.
Vérifiez le signe et l’ordre de grandeur de la réponse.
VAN et TRI
Valeur actuelle nette
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flux égaux
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taux de rendement interne
le r pour lequel NPV = 0
Décision
accepter si NPV > 0 (ou IRR > rendement exigé)
Méthode
Listez tous les flux de trésorerie avec leur année ; l’investissement de l’année 0 est négatif.
Actualisez chaque flux : CFt/(1 + r)t.
Additionnez-les pour obtenir la VAN. Une valeur positive signifie que le projet rapporte plus que r.
Pour le TRI, trouvez le taux qui annule la VAN, par tâtonnement ou par interpolation.
Prix et rendement des obligations
Prix de l’obligation
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Coupons semestriels
C/2, y/2 et 2n périodes
Rendement courant
C/P
Prix et rendement
rendement en hausse → prix en baisse
Méthode
Trouvez le coupon par période et le rendement par période.
Prix = valeur actuelle des coupons (une annuité) + valeur actuelle de la valeur nominale.
Pour des coupons semestriels, prenez la moitié du coupon, la moitié du rendement et deux fois plus de périodes.
Vérification : si le rendement est supérieur au taux du coupon, le prix est inférieur à la valeur nominale.
CAPM et WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valeur de l’entreprise
V = E + D
Seuil de rentabilité
Marge sur coût variable
CM = p − v
Quantité au seuil de rentabilité
QBE = FC/(p − v)
Bénéfice visé
Q = (FC + profit)/(p − v)
Bénéfice
π = (p − v)·Q − FC
Marge de sécurité
(Q − QBE)/Q
2Exercices
1.Valeur temps de l'argentMoyen
Un bien immobilier devrait rapporter un loyer net de €12 000 l’année prochaine. Le loyer devrait croître de 3 % par an indéfiniment. Le rendement exigé est de 5 % par an. Trouvez la valeur PV du bien aujourd’hui.
C1 = €12 000g = 3%r = 5%
PV = €
2.Valeur temps de l'argentDifficile
Tu épargnes €100 à la fin de chaque mois pendant 12 ans. Le compte rapporte 2,4 % par an, capitalisés mensuellement. Combien as-tu épargné à la fin ? Calcule FV.
A = €1002,4% / 12N = 144
FV = €
3.VAN et TRIMoyen
Une machine coûte €30 000 aujourd’hui. Elle génère €6 000 à la fin de chaque année pendant 5 ans et peut ensuite être revendue €3 000. Le coût du capital est de 10 %. Trouvez la valeur actuelle nette NPV.
C0 = €30 000CF = €6 000S = €3 000n = 5r = 10%
NPV = €
4.VAN et TRIDifficile
Un projet coûte €200 000 aujourd’hui. Son flux vaut €27 500 à la fin de l’année 1 et croît de 4 % par an jusqu’au dernier flux à la fin de l’année 8. Le coût du capital est de 8 %. Trouvez la valeur actuelle nette NPV.
C0 = €200 000CF1 = €27 500g = 4%n = 8r = 8%
NPV = €
5.Prix et rendement des obligationsMoyen
Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 7% et arrive à échéance dans 9 ans. Son taux de rendement actuariel passe de 5,5% à 7,5%. De combien ΔP le prix de l’obligation varie-t-il ?
F = €1 000coupon = 7%n = 9y1 = 5,5%y2 = 7,5%
ΔP = €
6.Prix et rendement des obligationsDifficile
Une obligation cote €985 avec un taux de rendement actuariel de 3% (capitalisation annuelle) et une duration de Macaulay de 3,8 ans. Utilisez la duration modifiée pour estimer le nouveau prix P si le rendement baisse de 25 points de base.
P0 = €985y = 3%D = 3,8Δy = −25 bp
P = €
7.CAPM et WACCMoyen
Une entreprise a des capitaux propres de €3 000 000 et une dette de €4 000 000. Son coût des capitaux propres est de 10%, son coût de la dette avant impôt de 5% et le taux d’imposition de 28%. Trouvez le WACC.
Une entreprise a 5 000 000 actions à €56,50 chacune et 5 000 obligations cotées €1 050 chacune. Le coût de la dette avant impôt est de 3% et le taux d’imposition de 28%. Le bêta de l’action est de 1,3, le taux sans risque de 1% et la rentabilité du marché de 5,5%. Trouvez le WACC.
β = 1,3rf = 1%rm = 5,5%rd = 3%T = 28%
WACC = %
9.Seuil de rentabilitéMoyen
Un produit peut être fabriqué de deux façons. La méthode A a des coûts fixes de €25 000 par an et un coût variable de €25 par unité. La méthode B, plus automatisée, a des coûts fixes de €49 000 par an et un coût variable de €19 par unité. À quel volume annuel Q les deux méthodes coûtent-elles autant ?
FA = €25 000vA = €25FB = €49 000vB = €19
Q = unités
10.Seuil de rentabilitéDifficile
Un produit se vend €21 l'unité, avec un coût variable de €18 par unité et des coûts fixes de €4 500 par an. Les ventes prévues sont de 2 400 unités. Calcule la marge de sécurité MS en pourcentage des ventes prévues.
F = €4 500p = €21v = €18prévision = 2 400
MS = %
3Solutions
1.Valeur temps de l'argent
Réponse: PV = 600000 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Tu as versé toi-même €14 400 ; le reste, ce sont des intérêts.
3.VAN et TRI
Réponse: NPV = −5393 €
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Valeur actuelle des flux annuels
6 000·3,791 = 22 744,72
Valeur actuelle de la valeur résiduelle
3 000/1,611 = 1 862,76
NPV
NPV = −30 000 + 22 744,72 + 1 862,76 = −€5 392,52
Réponse
NPV = −€5 392,52
4.VAN et TRI
Réponse: NPV = −20834 €
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
La VAN est négative : le projet rapporte moins que le rendement exigé.
5.Prix et rendement des obligations
Réponse: ΔP = −136,2 €
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Duration : la duration de Macaulay est la date moyenne pondérée à laquelle une obligation verse ses flux, avec les valeurs actuelles des flux comme poids : D = Σ t·PVₜ/P. La duration modifiée D/(1 + y) estime la variation en pourcentage du prix pour une petite variation du rendement : %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Duration modifiée
Dmod = 3,8/1,03 = 3,689
Variation de prix estimée
%ΔP ≈ −3,689·(−0,0025) = 0,9223%
P ≈ 985·(1 + 0,009223) = €994,08
Réponse
P = €994,08
La duration est une estimation linéaire ; pour de fortes variations de rendement, la convexité rend le vrai prix un peu plus élevé.
7.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 6,343 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Pondérations
V = €7 000 000, E/V = 0,4286, D/V = 0,5714
WACC
WACC = 0,4286·10% + 0,5714·5%·(1 − 0,28) = 6,343%
Réponse
WACC = 6,343%
8.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 6,764 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Coût-volume-profit : chaque unité vendue rapporte une marge sur coût variable, le prix moins le coût variable unitaire. Bénéfice = Q·(p − v) − F, où F est le coût fixe. Au seuil de rentabilité le bénéfice est nul, donc Q = F/(p − v).
Coûts totaux égaux
25 000 + 25Q = 49 000 + 19Q
Isoler Q
Q = (49 000 − 25 000)/(25 − 19) = 4 000
Réponse
Q = 4 000 unités
En dessous de ce volume, la méthode A est moins chère ; au-dessus, c’est la méthode automatisée B.
10.Seuil de rentabilité
Réponse: MS = 37,5 %
Coût-volume-profit : chaque unité vendue rapporte une marge sur coût variable, le prix moins le coût variable unitaire. Bénéfice = Q·(p − v) − F, où F est le coût fixe. Au seuil de rentabilité le bénéfice est nul, donc Q = F/(p − v).