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1Formules et méthodes
Valeur temps de l'argent
Valeur future
FV = PV·(1 + i)n
Valeur actuelle
PV = FV/(1 + i)n
Plusieurs périodes par an
i = r/m, N = m·n
Annuités, valeur actuelle
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Annuités, valeur future
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Méthode
Tracez un axe du temps avec chaque flux de trésorerie et sa date.
Faites correspondre le taux à la période : un taux mensuel pour des versements mensuels.
Utilisez FV = PV·(1 + i)ⁿ pour les montants uniques et les formules d’annuités pour les versements constants.
Vérifiez le signe et l’ordre de grandeur de la réponse.
VAN et TRI
Valeur actuelle nette
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flux égaux
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taux de rendement interne
le r pour lequel NPV = 0
Décision
accepter si NPV > 0 (ou IRR > rendement exigé)
Méthode
Listez tous les flux de trésorerie avec leur année ; l’investissement de l’année 0 est négatif.
Actualisez chaque flux : CFt/(1 + r)t.
Additionnez-les pour obtenir la VAN. Une valeur positive signifie que le projet rapporte plus que r.
Pour le TRI, trouvez le taux qui annule la VAN, par tâtonnement ou par interpolation.
Prix et rendement des obligations
Prix de l’obligation
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Coupons semestriels
C/2, y/2 et 2n périodes
Rendement courant
C/P
Prix et rendement
rendement en hausse → prix en baisse
Méthode
Trouvez le coupon par période et le rendement par période.
Prix = valeur actuelle des coupons (une annuité) + valeur actuelle de la valeur nominale.
Pour des coupons semestriels, prenez la moitié du coupon, la moitié du rendement et deux fois plus de périodes.
Vérification : si le rendement est supérieur au taux du coupon, le prix est inférieur à la valeur nominale.
CAPM et WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valeur de l’entreprise
V = E + D
Seuil de rentabilité
Marge sur coût variable
CM = p − v
Quantité au seuil de rentabilité
QBE = FC/(p − v)
Bénéfice visé
Q = (FC + profit)/(p − v)
Bénéfice
π = (p − v)·Q − FC
Marge de sécurité
(Q − QBE)/Q
2Exercices
1.Valeur temps de l'argentMoyen
Une annuité verse €1 000 à la fin de chaque année pendant 12 ans. Le taux d’intérêt est de 5 % par an. Trouvez la valeur actuelle PV de l’annuité.
A = €1 000i = 5%n = 12
PV = €
2.Valeur temps de l'argentDifficile
Tu épargnes €100 à la fin de chaque mois pendant 25 ans. Le compte rapporte 5,4 % par an, capitalisés mensuellement. Combien as-tu épargné à la fin ? Calcule FV.
A = €1005,4% / 12N = 300
FV = €
3.VAN et TRIMoyen
Une machine coûte €20 000 aujourd’hui, dure 9 ans et coûte €1 000 par an en fonctionnement (payés à la fin de chaque année). Le coût du capital est de 5 %. Trouvez son coût annuel équivalent EAC.
C0 = €20 000M = €1 000n = 9r = 5%
EAC = €
4.VAN et TRIDifficile
Un projet coûte €20 000 et rapporte €10 500, €14 000, €13 500 à la fin des années 1 à 3. Calcule son taux de rendement interne IRR en pourcentage.
CF0 = −20 000CF1 = 10 500CF2 = 14 000CF3 = 13 500
IRR = %
5.Prix et rendement des obligationsMoyen
Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 5% en deux versements semestriels et arrive à échéance dans 8 ans. Le taux de rendement actuariel est de 3,5% par an. Trouvez le prix P de l’obligation.
F = €1 000coupon = 5%YTM = 3,5%n = 8
P = €
6.Prix et rendement des obligationsDifficile
Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 2% et arrive à échéance dans 6 ans. Le taux de rendement actuariel est de 3,5%. Trouvez la duration de Macaulay D en années.
F = €1 000coupon = 2%n = 6YTM = 3,5%
D = ans
7.CAPM et WACCMoyen
Une entreprise a un ratio dette/capitaux propres (en valeurs de marché) de 0,75. Son coût des capitaux propres est de 11%, son coût de la dette avant impôt de 7% et le taux d’imposition de 20%. Trouvez le WACC.
D/E = 0,75re = 11%rd = 7%T = 20%
WACC = %
8.CAPM et WACCDifficile
Une entreprise a 2 000 000 actions cotant €54,00 ; la valeur comptable de ses capitaux propres est de €54 000 000. Elle vient de verser un dividende de €2,90 par action, et les dividendes croissent de 3% par an. Sa dette a une valeur de marché de €54 000 000 et un coût avant impôt de 6%. Le taux d’imposition est de 25,8%. Trouvez le WACC en utilisant le modèle de croissance des dividendes pour le coût des capitaux propres.
Un produit se vend €11 l'unité avec un coût variable de €6 par unité. Les coûts fixes sont de €25 000 par mois. Combien d'unités Q faut-il vendre par mois pour faire un bénéfice de €5 000 ?
F = €25 000p = €11v = €6bénéfice = €5 000
Q = unités
10.Seuil de rentabilitéDifficile
Un produit se vend €14 l'unité, avec un coût variable de €12 par unité et des coûts fixes de €10 000 par an. Les ventes prévues sont de 5 750 unités. Calcule la marge de sécurité MS en pourcentage des ventes prévues.
F = €10 000p = €14v = €12prévision = 5 750
MS = %
3Solutions
1.Valeur temps de l'argent
Réponse: PV = 8863 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Facteur d’annuité
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,5568)/0,05 = 8,863
Valeur actuelle
PV = 1 000·8,863 = €8 863,25
Réponse
PV = €8 863,25
2.Valeur temps de l'argent
Réponse: FV = 63239 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Tu as versé toi-même €30 000 ; le reste, ce sont des intérêts.
3.VAN et TRI
Réponse: EAC = 3814 €
Coût annuel équivalent : répartissez la valeur actuelle de tous les coûts sur la durée de vie sous forme d’un montant annuel constant (une annuité) : EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Cela permet de comparer des machines de durées de vie différentes.
Facteur d’annuité
(1 − 1,05−9)/0,05 = 7,108
Prix d’achat annualisé
20 000/7,108 = 2 813,80
EAC
EAC = 2 813,80 + 1 000 = €3 813,80
Réponse
EAC = €3 813,80
4.VAN et TRI
Réponse: IRR = 38,36 %
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Encadrer le TRI
La VAN baisse quand le taux augmente, donc le TRI se trouve entre un taux à VAN positive et un taux à VAN négative.
NPV(35%) = 946,50
NPV(40%) = −437,32
Resserrer
L'interpolation linéaire donne une première estimation ; la répéter (ou utiliser la fonction TRI d'une calculatrice) donne le taux exact.
IRR ≈ 35 + 5·946,50/(946,50 − (−437,32)) = 38,42%
exact: NPV(38,36%) = 0 → IRR = 38,36%
Réponse
IRR = 38,36%
5.Prix et rendement des obligations
Réponse: P = 1104 €
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Par période
C = €25,00, i = 0,0175, N = 16
Valeur actuelle des coupons
€25,00·(1 − 0,7576)/0,0175 = €346,26
Valeur actuelle du nominal
€1 000·0,7576 = €757,62
Prix
P = €1 103,88
Réponse
P = €1 103,88
Le rendement est inférieur au taux du coupon, donc l’obligation se vend avec une prime (au-dessus du pair).
6.Prix et rendement des obligations
Réponse: D = 5,699 ans
Duration : la duration de Macaulay est la date moyenne pondérée à laquelle une obligation verse ses flux, avec les valeurs actuelles des flux comme poids : D = Σ t·PVₜ/P. La duration modifiée D/(1 + y) estime la variation en pourcentage du prix pour une petite variation du rendement : %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Valeur actuelle de chaque flux
t = 1: 20/1,035 = 19,32, t·PV = 19,32
t = 2: 20/1,071 = 18,67, t·PV = 37,34
t = 3: 20/1,109 = 18,04, t·PV = 54,12
t = 4: 20/1,148 = 17,43, t·PV = 69,72
t = 5: 20/1,188 = 16,84, t·PV = 84,20
t = 6: 1020/1,229 = 829,77, t·PV = 4 978,62
Duration
P = 920,07
D = 5 243,32/920,07 = 5,699
Réponse
D = 5,699 ans
7.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 8,686 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Poids à partir de D/E
E/V = 1/(1 + 0,75) = 0,5714
D/V = 0,75/(1 + 0,75) = 0,4286
WACC
WACC = 0,5714·11% + 0,4286·7%·(1 − 0,2) = 8,686%
Réponse
WACC = 8,686%
8.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 7,172 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Coût-volume-profit : chaque unité vendue rapporte une marge sur coût variable, le prix moins le coût variable unitaire. Bénéfice = Q·(p − v) − F, où F est le coût fixe. Au seuil de rentabilité le bénéfice est nul, donc Q = F/(p − v).
Coût-volume-profit : chaque unité vendue rapporte une marge sur coût variable, le prix moins le coût variable unitaire. Bénéfice = Q·(p − v) − F, où F est le coût fixe. Au seuil de rentabilité le bénéfice est nul, donc Q = F/(p − v).