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1Formules et méthodes
Valeur temps de l'argent
Valeur future
FV = PV·(1 + i)n
Valeur actuelle
PV = FV/(1 + i)n
Plusieurs périodes par an
i = r/m, N = m·n
Annuités, valeur actuelle
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Annuités, valeur future
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Méthode
Tracez un axe du temps avec chaque flux de trésorerie et sa date.
Faites correspondre le taux à la période : un taux mensuel pour des versements mensuels.
Utilisez FV = PV·(1 + i)ⁿ pour les montants uniques et les formules d’annuités pour les versements constants.
Vérifiez le signe et l’ordre de grandeur de la réponse.
VAN et TRI
Valeur actuelle nette
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flux égaux
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taux de rendement interne
le r pour lequel NPV = 0
Décision
accepter si NPV > 0 (ou IRR > rendement exigé)
Méthode
Listez tous les flux de trésorerie avec leur année ; l’investissement de l’année 0 est négatif.
Actualisez chaque flux : CFt/(1 + r)t.
Additionnez-les pour obtenir la VAN. Une valeur positive signifie que le projet rapporte plus que r.
Pour le TRI, trouvez le taux qui annule la VAN, par tâtonnement ou par interpolation.
Prix et rendement des obligations
Prix de l’obligation
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Coupons semestriels
C/2, y/2 et 2n périodes
Rendement courant
C/P
Prix et rendement
rendement en hausse → prix en baisse
Méthode
Trouvez le coupon par période et le rendement par période.
Prix = valeur actuelle des coupons (une annuité) + valeur actuelle de la valeur nominale.
Pour des coupons semestriels, prenez la moitié du coupon, la moitié du rendement et deux fois plus de périodes.
Vérification : si le rendement est supérieur au taux du coupon, le prix est inférieur à la valeur nominale.
CAPM et WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valeur de l’entreprise
V = E + D
Seuil de rentabilité
Marge sur coût variable
CM = p − v
Quantité au seuil de rentabilité
QBE = FC/(p − v)
Bénéfice visé
Q = (FC + profit)/(p − v)
Bénéfice
π = (p − v)·Q − FC
Marge de sécurité
(Q − QBE)/Q
2Exercices
1.Valeur temps de l'argentMoyen
Tu places €8 000 à un taux nominal de 4 % par an, capitalisés mensuellement. Calcule la valeur FV du placement après 9 ans.
PV = €8 0004% / 12n = 9
FV = €
2.Valeur temps de l'argentDifficile
Vous voulez disposer de €30 000 dans 15 ans. Vous épargnez le même montant à la fin de chaque mois sur un compte rémunéré à 4,8 % par an, capitalisé mensuellement. Trouvez le versement mensuel A.
FV = €30 0004,8% / 12N = 180
A = €
3.VAN et TRIMoyen
Un investissement de €45 000 donne ces flux à la fin des années 1 à 3 : €11 000, €12 000, €18 000. Le coût du capital est de 5 %. Calcule la valeur actuelle nette NPV.
Un projet coûte €10 000 et rapporte €7 500, €6 500 à la fin des années 1 à 2. Calcule son taux de rendement interne IRR en pourcentage.
CF0 = −10 000CF1 = 7 500CF2 = 6 500
IRR = %
5.Prix et rendement des obligationsMoyen
Vous achetez une obligation à 9 ans de l’échéance (valeur nominale €1 000, coupon annuel 4%) quand son taux de rendement actuariel est de 6%. Un an plus tard, juste après avoir perçu le premier coupon, vous la revendez quand le taux de rendement actuariel est de 5%. Trouvez votre rendement sur la période de détention HPR en pourcentage.
F = €1 000coupon = 4%n = 9y0 = 6%y1 = 5%
HPR = %
6.Prix et rendement des obligationsDifficile
Une obligation à 19 ans de l’échéance (valeur nominale €1 000, coupon annuel 5%) se vend €1 131. L’émetteur peut la rembourser par anticipation dans 4 ans à un prix de remboursement anticipé de €1 050. Trouvez le rendement au remboursement anticipé YTC en pourcentage.
F = €1 000coupon = 5%P = €1 131prix de remboursement anticipé = €1 050remboursement anticipé dans 4 ans
YTC = %
7.CAPM et WACCMoyen
Une action de bêta 0,8 a un rendement exigé de 4,2%. Le taux sans risque est de 1%. Quel rendement attendu du marché rm le CAPM implique-t-il ?
β = 0,8re = 4,2%rf = 1%
rm = %
8.CAPM et WACCDifficile
L’activité d’une entreprise a un bêta désendetté (bêta de l’actif) de 0,9. Elle prévoit un ratio dette/capitaux propres de 0,75. Le taux d’imposition est de 28%, le taux sans risque de 1% et la prime de risque du marché de 5,5%. Trouvez le coût des capitaux propres re avec la nouvelle structure du capital.
βU = 0,9D/E = 0,75T = 28%rf = 1%rm − rf = 5,5%
re = %
9.Seuil de rentabilitéMoyen
Une entreprise vend 3 600 unités à €16 chacune. Le coût variable est de €8 par unité et les coûts fixes s’élèvent à €9 600. Trouvez le degré de levier opérationnel DOL à ce niveau de ventes.
Q = 3 600p = €16v = €8F = €9 600
DOL =
10.Seuil de rentabilitéDifficile
Un produit se vend €60 l'unité, avec un coût variable de €45 par unité et des coûts fixes de €15 000 par an. Les ventes prévues sont de 1 250 unités. Calcule la marge de sécurité MS en pourcentage des ventes prévues.
F = €15 000p = €60v = €45prévision = 1 250
MS = %
3Solutions
1.Valeur temps de l'argent
Réponse: FV = 11460 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Valeur actuelle de chaque flux
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0,05)1 = 11 000/1,05 = 10 476,19
CF2/(1 + 0,05)2 = 12 000/1,103 = 10 884,35
CF3/(1 + 0,05)3 = 18 000/1,158 = 15 549,08
Additionner
NPV = €−8 090,38
Réponse
NPV = €−8 090,38
La VAN est négative : le projet rapporte moins que le rendement exigé.
4.VAN et TRI
Réponse: IRR = 26,42 %
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Encadrer le TRI
La VAN baisse quand le taux augmente, donc le TRI se trouve entre un taux à VAN positive et un taux à VAN négative.
NPV(25%) = 160,00
NPV(30%) = −384,62
Resserrer
L'interpolation linéaire donne une première estimation ; la répéter (ou utiliser la fonction TRI d'une calculatrice) donne le taux exact.
IRR ≈ 25 + 5·160,00/(160,00 − (−384,62)) = 26,47%
exact: NPV(26,42%) = 0 → IRR = 26,42%
Réponse
IRR = 26,42%
5.Prix et rendement des obligations
Réponse: HPR = 12,89 %
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Équation du rendement
1131 = 50·(1 − (1 + y)−4)/y + 1050/(1 + y)4
Résoudre numériquement
y = 2%: €1 160,42
y = 3%: €1 118,77
YTC = 2,701%
Réponse
YTC = 2,701%
Le taux de rendement actuariel à l’échéance est de 4,002%. Les investisseurs d’une obligation cotant au-dessus du pair s’attendent à un remboursement anticipé, donc le rendement au remboursement anticipé, plus faible, est le plus réaliste.
7.CAPM et WACC
Réponse: rm = 5 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Prime de risque du marché
rm − rf = (4,2% − 1%)/0,8 = 4%
Rendement du marché
rm = 1% + 4% = 5%
Réponse
rm = 5%
8.CAPM et WACC
Réponse: re = 8,623 %
Bêta endetté (Hamada) : la dette rend les capitaux propres plus risqués. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), où βU est le bêta de l’activité sans dette. Pour transposer un bêta à une autre structure du capital, désendettez-le d’abord, puis réendettez-le au nouveau D/E.
Bêta endetté
βL = 0,9·(1 + 0,72·0,75) = 1,386
Coût des capitaux propres (CAPM)
re = 1% + 1,386·5,5% = 8,623%
Réponse
re = 8,623%
9.Seuil de rentabilité
Réponse: DOL = 1,5
Levier opérationnel : les coûts fixes font réagir le bénéfice plus fortement que les ventes. Le degré de levier opérationnel DOL = marge sur coût variable/résultat d’exploitation indique qu’une variation de 1 % des ventes modifie le bénéfice de DOL %. Il est très élevé juste au-dessus du seuil de rentabilité et diminue quand les ventes augmentent.
Marge sur coût variable totale
CM = 3 600·(16 − 8) = €28 800
Résultat d’exploitation
Π = 28 800 − 9 600 = €19 200
DOL
DOL = 28 800/19 200 = 1,5
Réponse
DOL = 1,5
10.Seuil de rentabilité
Réponse: MS = 20 %
Coût-volume-profit : chaque unité vendue rapporte une marge sur coût variable, le prix moins le coût variable unitaire. Bénéfice = Q·(p − v) − F, où F est le coût fixe. Au seuil de rentabilité le bénéfice est nul, donc Q = F/(p − v).