Finance d’entreprise : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 10 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Valeur temps de l'argent

Valeur future: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valeur actuelle: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Plusieurs périodes par an: i = r/m, N = m·n
Annuités, valeur actuelle: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Annuités, valeur future: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Méthode

Tracez un axe du temps avec chaque flux de trésorerie et sa date.
Faites correspondre le taux à la période : un taux mensuel pour des versements mensuels.
Utilisez FV = PV·(1 + i)ⁿ pour les montants uniques et les formules d’annuités pour les versements constants.
Vérifiez le signe et l’ordre de grandeur de la réponse.

VAN et TRI

Valeur actuelle nette: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Flux égaux: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Taux de rendement interne: le r pour lequel NPV = 0
Décision: accepter si NPV > 0 (ou IRR > rendement exigé)

Méthode

Listez tous les flux de trésorerie avec leur année ; l’investissement de l’année 0 est négatif.
Actualisez chaque flux : CF_t/(1 + r)^t.
Additionnez-les pour obtenir la VAN. Une valeur positive signifie que le projet rapporte plus que r.
Pour le TRI, trouvez le taux qui annule la VAN, par tâtonnement ou par interpolation.

Prix et rendement des obligations

Prix de l’obligation: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Coupons semestriels: C/2, y/2 et 2n périodes
Rendement courant: C/P
Prix et rendement: rendement en hausse → prix en baisse

Méthode

Trouvez le coupon par période et le rendement par période.
Prix = valeur actuelle des coupons (une annuité) + valeur actuelle de la valeur nominale.
Pour des coupons semestriels, prenez la moitié du coupon, la moitié du rendement et deux fois plus de périodes.
Vérification : si le rendement est supérieur au taux du coupon, le prix est inférieur à la valeur nominale.

CAPM et WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valeur de l’entreprise: V = E + D

Seuil de rentabilité

Marge sur coût variable: CM = p − v
Quantité au seuil de rentabilité: Q_BE = FC/(p − v)
Bénéfice visé: Q = (FC + profit)/(p − v)
Bénéfice: π = (p − v)·Q − FC
Marge de sécurité: (Q − Q_BE)/Q

2Exercices

1.Valeur temps de l'argentMoyen

Tu as besoin de €50 000 dans 2 ans. Un compte rapporte 6 % par an, capitalisés trimestriellement. Combien dois-tu déposer aujourd'hui ? Calcule la valeur actuelle PV.

FV = €50 0006% / 4n = 2

PV = €

2.Valeur temps de l'argentDifficile

Vous empruntez €8 000 à 3 % par an, capitalisé mensuellement, et remboursez €250 à la fin de chaque mois. Combien de mois faut-il pour rembourser le prêt (le dernier versement peut être plus petit) ? Donnez le nombre de versements N.

P = €8 000A = €2503% / 12

N = versements

3.VAN et TRIMoyen

Un projet coûte €200 000 aujourd’hui. Il génère €9 000 à la fin de la première année, puis le flux croît de 4 % par an indéfiniment. Le coût du capital est de 9 %. Trouvez la valeur actuelle nette NPV.

C₀ = €200 000CF₁ = €9 000g = 4%r = 9%

NPV = €

4.VAN et TRIDifficile

Le projet A coûte €30 000 et rapporte €16 500, €12 000, €6 500 à la fin des années 1 à 3. Le projet B coûte €40 000 et rapporte €10 500, €15 500, €20 500. Trouvez le taux d’indifférence r* pour lequel les deux projets ont la même VAN, en pourcentage.

A: −30 000, 16 500, 12 000, 6 500B: −40 000, 10 500, 15 500, 20 500

r* = %

5.Prix et rendement des obligationsMoyen

Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 6% en deux versements semestriels et arrive à échéance dans 8 ans. Le taux de rendement actuariel est de 2,5% par an. Trouvez le prix P de l’obligation.

F = €1 000coupon = 6%YTM = 2,5%n = 8

P = €

6.Prix et rendement des obligationsDifficile

Une obligation à 16 ans de l’échéance (valeur nominale €1 000, coupon annuel 9%) se vend €1 189. L’émetteur peut la rembourser par anticipation dans 6 ans à un prix de remboursement anticipé de €1 090. Trouvez le rendement au remboursement anticipé YTC en pourcentage.

F = €1 000coupon = 9%P = €1 189prix de remboursement anticipé = €1 090remboursement anticipé dans 6 ans

YTC = %

7.CAPM et WACCMoyen

Une entreprise a des capitaux propres valant €10 000 000 et une dette valant €2 000 000. Son WACC est de 10,6%, son coût de la dette avant impôt de 4,5% et le taux d’imposition de 20%. Trouvez le coût des capitaux propres r_e.

E = €10 000 000D = €2 000 000WACC = 10,6%r_d = 4,5%T = 20%

r_e = %

8.CAPM et WACCDifficile

L’activité d’une entreprise a un bêta désendetté (bêta de l’actif) de 0,9. Elle prévoit un ratio dette/capitaux propres de 1,5. Le taux d’imposition est de 20%, le taux sans risque de 3% et la prime de risque du marché de 5,5%. Trouvez le coût des capitaux propres r_e avec la nouvelle structure du capital.

β_U = 0,9D/E = 1,5T = 20%r_f = 3%r_m − r_f = 5,5%

r_e = %

9.Seuil de rentabilitéMoyen

Un produit se vend €20 l'unité avec un coût variable de €15 par unité. Les coûts fixes sont de €20 000 par mois. Combien d'unités Q faut-il vendre par mois pour faire un bénéfice de €20 000 ?

F = €20 000p = €20v = €15bénéfice = €20 000

Q = unités

10.Seuil de rentabilitéDifficile

Une entreprise vend deux produits. Le produit A se vend €23 avec un coût variable de €15 ; le produit B se vend €30 avec un coût variable de €10. Ils se vendent dans une proportion fixe de 4 unités de A pour 1 de B. Les coûts fixes s’élèvent à €15 600 par mois. Trouvez le nombre total d’unités Q (A et B ensemble) nécessaire pour atteindre le seuil de rentabilité.

p_A = €23, v_A = €15p_B = €30, v_B = €10A : B = 4 : 1F = €15 600

Q = unités

3Solutions

1.Valeur temps de l'argent

Réponse: PV = 44386 €

Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)ⁿ. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.

Taux et nombre de périodes

i = 0,06/4 = 0,015

N = 4·2 = 8

Valeur actuelle

PV = FV/(1 + i)^N = 50 000/1,126 = €44 385,56

Réponse

PV = €44 385,56

2.Valeur temps de l'argent

Réponse: N = 34 versements

Réarranger la formule d’annuité

i = 0,0025

(1 + i)^−N = 1 − 8 000·0,0025/250 = 0,92

Résoudre avec les logarithmes

N = −ln(0,92)/ln(1,002) = 33,39

Arrondir au nombre entier de versements supérieur

33 versements complets laissent un petit solde, que le dernier versement, plus petit, solde.

N = 34

Réponse

N = 34 versements

3.VAN et TRI

Réponse: NPV = −20000 €

Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.

Valeur des flux

PV = 9 000/(0,09 − 0,04) = 180 000,00

NPV

NPV = 180 000,00 − 200 000 = −€20 000,00

Réponse

NPV = −€20 000,00

La VAN est négative : le projet rapporte moins que le rendement exigé.

4.VAN et TRI

Réponse: r* = 3,762 %

Taux d’indifférence : le taux d’actualisation pour lequel deux projets ont la même VAN. C’est le TRI de la différence de leurs flux (B − A). En dessous, le projet aux flux plus tardifs et plus importants a la VAN la plus élevée ; au-dessus, c’est l’autre qui l’emporte.

Différence des flux

ΔCF₀ = −40 000 − (−30 000) = −10 000

ΔCF₁ = 10 500 − 16 500 = −6 000

ΔCF₂ = 15 500 − 12 000 = 3 500

ΔCF₃ = 20 500 − 6 500 = 14 000

TRI de la différence

NPV_Δ(3%) = 285,83

NPV_Δ(4%) = −87,34

r* = 3,762%

Réponse

r* = 3,762%

Vérification : à 3,762%, les deux VAN valent €2 865,54.

5.Prix et rendement des obligations

Réponse: P = 1252 €

Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.

Par période

C = €30,00, i = 0,0125, N = 16

Valeur actuelle des coupons

€30,00·(1 − 0,8197)/0,0125 = €432,61

Valeur actuelle du nominal

€1 000·0,8197 = €819,75

Prix

P = €1 252,36

Réponse

P = €1 252,36

Le rendement est inférieur au taux du coupon, donc l’obligation se vend avec une prime (au-dessus du pair).

6.Prix et rendement des obligations

Réponse: YTC = 6,387 %

Équation du rendement

1189 = 90·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + 1090/(1 + y)⁶

Résoudre numériquement

y = 6%: €1 210,97

y = 7%: €1 155,30

YTC = 6,387%

Réponse

YTC = 6,387%

Le taux de rendement actuariel à l’échéance est de 6,999%. Les investisseurs d’une obligation cotant au-dessus du pair s’attendent à un remboursement anticipé, donc le rendement au remboursement anticipé, plus faible, est le plus réaliste.

7.CAPM et WACC

Réponse: r_e = 12 %

Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).

Pondérations

V = €12 000 000, E/V = 0,8333, D/V = 0,1667

Part de la dette dans le WACC

0,1667·4,5%·(1 − 0,2) = 0,6%

Coût des capitaux propres

r_e = (10,6% − 0,6%)/0,8333 = 12%

Réponse

r_e = 12%

8.CAPM et WACC

Réponse: r_e = 13,89 %

Bêta endetté (Hamada) : la dette rend les capitaux propres plus risqués. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), où β_U est le bêta de l’activité sans dette. Pour transposer un bêta à une autre structure du capital, désendettez-le d’abord, puis réendettez-le au nouveau D/E.

Bêta endetté

β_L = 0,9·(1 + 0,8·1,5) = 1,98

Coût des capitaux propres (CAPM)

r_e = 3% + 1,98·5,5% = 13,89%

Réponse

r_e = 13,89%

9.Seuil de rentabilité

Réponse: Q = 8000 unités

Coût-volume-profit : chaque unité vendue rapporte une marge sur coût variable, le prix moins le coût variable unitaire. Bénéfice = Q·(p − v) − F, où F est le coût fixe. Au seuil de rentabilité le bénéfice est nul, donc Q = F/(p − v).

Marge unitaire sur coût variable

p − v = 20 − 15 = €5

Unités pour le bénéfice visé

Q = (F + bénéfice)/(p − v) = (20 000 + 20 000)/5 = 8 000

Réponse

Q = 8 000 unités

10.Seuil de rentabilité

Réponse: Q = 1500 unités

Seuil de rentabilité avec une composition des ventes : quand les produits se vendent dans une proportion fixe, utilisez la marge sur coût variable moyenne pondérée : pondérez le p − v de chaque produit par sa part en unités. Unités au seuil de rentabilité = F/(marge pondérée), réparties à nouveau selon la proportion.

Marges sur coût variable

cm_A = €8, cm_B = €20

Marge sur coût variable pondérée

(4·8 + 1·20)/5 = €10,40

Unités au seuil de rentabilité

Q = 15 600/10,4 = 1 500

A: 1 200, B: 300

Réponse

Q = 1 500 unités

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