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1Formules et méthodes
Valeur temps de l'argent
Valeur future
FV = PV·(1 + i)n
Valeur actuelle
PV = FV/(1 + i)n
Plusieurs périodes par an
i = r/m, N = m·n
Annuités, valeur actuelle
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Annuités, valeur future
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Méthode
Tracez un axe du temps avec chaque flux de trésorerie et sa date.
Faites correspondre le taux à la période : un taux mensuel pour des versements mensuels.
Utilisez FV = PV·(1 + i)ⁿ pour les montants uniques et les formules d’annuités pour les versements constants.
Vérifiez le signe et l’ordre de grandeur de la réponse.
VAN et TRI
Valeur actuelle nette
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flux égaux
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taux de rendement interne
le r pour lequel NPV = 0
Décision
accepter si NPV > 0 (ou IRR > rendement exigé)
Méthode
Listez tous les flux de trésorerie avec leur année ; l’investissement de l’année 0 est négatif.
Actualisez chaque flux : CFt/(1 + r)t.
Additionnez-les pour obtenir la VAN. Une valeur positive signifie que le projet rapporte plus que r.
Pour le TRI, trouvez le taux qui annule la VAN, par tâtonnement ou par interpolation.
Prix et rendement des obligations
Prix de l’obligation
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Coupons semestriels
C/2, y/2 et 2n périodes
Rendement courant
C/P
Prix et rendement
rendement en hausse → prix en baisse
Méthode
Trouvez le coupon par période et le rendement par période.
Prix = valeur actuelle des coupons (une annuité) + valeur actuelle de la valeur nominale.
Pour des coupons semestriels, prenez la moitié du coupon, la moitié du rendement et deux fois plus de périodes.
Vérification : si le rendement est supérieur au taux du coupon, le prix est inférieur à la valeur nominale.
CAPM et WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valeur de l’entreprise
V = E + D
Seuil de rentabilité
Marge sur coût variable
CM = p − v
Quantité au seuil de rentabilité
QBE = FC/(p − v)
Bénéfice visé
Q = (FC + profit)/(p − v)
Bénéfice
π = (p − v)·Q − FC
Marge de sécurité
(Q − QBE)/Q
2Exercices
1.Valeur temps de l'argentMoyen
Un bien immobilier devrait rapporter un loyer net de €20 000 l’année prochaine. Le loyer devrait croître de 1,5 % par an indéfiniment. Le rendement exigé est de 4,5 % par an. Trouvez la valeur PV du bien aujourd’hui.
C1 = €20 000g = 1,5%r = 4,5%
PV = €
2.Valeur temps de l'argentDifficile
Tu épargnes €100 à la fin de chaque mois pendant 25 ans. Le compte rapporte 4,2 % par an, capitalisés mensuellement. Combien as-tu épargné à la fin ? Calcule FV.
A = €1004,2% / 12N = 300
FV = €
3.VAN et TRIMoyen
Une machine coûte €100 000 aujourd’hui. Elle génère €25 000 à la fin de chaque année pendant 4 ans et peut ensuite être revendue €25 000. Le coût du capital est de 6 %. Trouvez la valeur actuelle nette NPV.
C0 = €100 000CF = €25 000S = €25 000n = 4r = 6%
NPV = €
4.VAN et TRIDifficile
Un projet coûte €50 000 et rapporte €25 000, €33 500, €17 500 à la fin des années 1 à 3. Calcule son taux de rendement interne IRR en pourcentage.
CF0 = −50 000CF1 = 25 000CF2 = 33 500CF3 = 17 500
IRR = %
5.Prix et rendement des obligationsMoyen
Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 6% en deux versements semestriels et arrive à échéance dans 3 ans. Le taux de rendement actuariel est de 9% par an. Trouvez le prix P de l’obligation.
F = €1 000coupon = 6%YTM = 9%n = 3
P = €
6.Prix et rendement des obligationsDifficile
Une obligation de valeur nominale €1 000 avec un coupon annuel de 4% arrive à échéance dans 7 ans et se vend €1 095. Trouvez son taux de rendement actuariel YTM en pourcentage.
F = €1 000coupon = 4%n = 7P = €1 095
YTM = %
7.CAPM et WACCMoyen
Une action de bêta 1,6 a un rendement exigé de 10%. Le taux sans risque est de 2%. Quel rendement attendu du marché rm le CAPM implique-t-il ?
β = 1,6re = 10%rf = 2%
rm = %
8.CAPM et WACCDifficile
Une entreprise a 2 000 000 actions à €8,00 chacune et 20 000 obligations cotées €1 020 chacune. Le coût de la dette avant impôt est de 6% et le taux d’imposition de 21%. Le bêta de l’action est de 1,3, le taux sans risque de 2,5% et la rentabilité du marché de 9,5%. Trouvez le WACC.
β = 1,3rf = 2,5%rm = 9,5%rd = 6%T = 21%
WACC = %
9.Seuil de rentabilitéMoyen
Un produit peut être fabriqué de deux façons. La méthode A a des coûts fixes de €20 000 par an et un coût variable de €12 par unité. La méthode B, plus automatisée, a des coûts fixes de €32 000 par an et un coût variable de €6 par unité. À quel volume annuel Q les deux méthodes coûtent-elles autant ?
FA = €20 000vA = €12FB = €32 000vB = €6
Q = unités
10.Seuil de rentabilitéDifficile
Un produit se vend €28 l'unité, avec un coût variable de €8 par unité et des coûts fixes de €10 000 par an. Les ventes prévues sont de 800 unités. Calcule la marge de sécurité MS en pourcentage des ventes prévues.
F = €10 000p = €28v = €8prévision = 800
MS = %
3Solutions
1.Valeur temps de l'argent
Réponse: PV = 666667 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Tu as versé toi-même €30 000 ; le reste, ce sont des intérêts.
3.VAN et TRI
Réponse: NPV = 6430 €
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Encadrer le TRI
La VAN baisse quand le taux augmente, donc le TRI se trouve entre un taux à VAN positive et un taux à VAN négative.
NPV(25%) = 400,00
NPV(30%) = −2 981,34
Resserrer
L'interpolation linéaire donne une première estimation ; la répéter (ou utiliser la fonction TRI d'une calculatrice) donne le taux exact.
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Par période
C = €30,00, i = 0,045, N = 6
Valeur actuelle des coupons
€30,00·(1 − 0,7679)/0,045 = €154,74
Valeur actuelle du nominal
€1 000·0,7679 = €767,90
Prix
P = €922,63
Réponse
P = €922,63
Le rendement est supérieur au taux du coupon, donc l’obligation se vend avec une décote (sous le pair).
6.Prix et rendement des obligations
Réponse: YTM = 2,504 %
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Équation du rendement
€1 095 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷
Résoudre numériquement
P(2%) = €1 129,44, P(3%) = €1 062,30
YTM = 2,504%
Réponse
YTM = 2,504%
7.CAPM et WACC
Réponse: rm = 7 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Prime de risque du marché
rm − rf = (10% − 2%)/1,6 = 5%
Rendement du marché
rm = 2% + 5% = 7%
Réponse
rm = 7%
8.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 7,755 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Coût-volume-profit : chaque unité vendue rapporte une marge sur coût variable, le prix moins le coût variable unitaire. Bénéfice = Q·(p − v) − F, où F est le coût fixe. Au seuil de rentabilité le bénéfice est nul, donc Q = F/(p − v).
Coûts totaux égaux
20 000 + 12Q = 32 000 + 6Q
Isoler Q
Q = (32 000 − 20 000)/(12 − 6) = 2 000
Réponse
Q = 2 000 unités
En dessous de ce volume, la méthode A est moins chère ; au-dessus, c’est la méthode automatisée B.
10.Seuil de rentabilité
Réponse: MS = 37,5 %
Coût-volume-profit : chaque unité vendue rapporte une marge sur coût variable, le prix moins le coût variable unitaire. Bénéfice = Q·(p − v) − F, où F est le coût fixe. Au seuil de rentabilité le bénéfice est nul, donc Q = F/(p − v).