Finance d’entreprise : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 10 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Valeur temps de l'argent

Valeur future: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valeur actuelle: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Plusieurs périodes par an: i = r/m, N = m·n
Annuités, valeur actuelle: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Annuités, valeur future: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Méthode

Tracez un axe du temps avec chaque flux de trésorerie et sa date.
Faites correspondre le taux à la période : un taux mensuel pour des versements mensuels.
Utilisez FV = PV·(1 + i)ⁿ pour les montants uniques et les formules d’annuités pour les versements constants.
Vérifiez le signe et l’ordre de grandeur de la réponse.

VAN et TRI

Valeur actuelle nette: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Flux égaux: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Taux de rendement interne: le r pour lequel NPV = 0
Décision: accepter si NPV > 0 (ou IRR > rendement exigé)

Méthode

Listez tous les flux de trésorerie avec leur année ; l’investissement de l’année 0 est négatif.
Actualisez chaque flux : CF_t/(1 + r)^t.
Additionnez-les pour obtenir la VAN. Une valeur positive signifie que le projet rapporte plus que r.
Pour le TRI, trouvez le taux qui annule la VAN, par tâtonnement ou par interpolation.

Prix et rendement des obligations

Prix de l’obligation: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Coupons semestriels: C/2, y/2 et 2n périodes
Rendement courant: C/P
Prix et rendement: rendement en hausse → prix en baisse

Méthode

Trouvez le coupon par période et le rendement par période.
Prix = valeur actuelle des coupons (une annuité) + valeur actuelle de la valeur nominale.
Pour des coupons semestriels, prenez la moitié du coupon, la moitié du rendement et deux fois plus de périodes.
Vérification : si le rendement est supérieur au taux du coupon, le prix est inférieur à la valeur nominale.

CAPM et WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valeur de l’entreprise: V = E + D

Seuil de rentabilité

Marge sur coût variable: CM = p − v
Quantité au seuil de rentabilité: Q_BE = FC/(p − v)
Bénéfice visé: Q = (FC + profit)/(p − v)
Bénéfice: π = (p − v)·Q − FC
Marge de sécurité: (Q − Q_BE)/Q

2Exercices

1.Valeur temps de l'argentMoyen

Tu places €2 000 à un taux nominal de 3,6 % par an, capitalisés trimestriellement. Calcule la valeur FV du placement après 3 ans.

PV = €2 0003,6% / 4n = 3

FV = €

2.Valeur temps de l'argentDifficile

Tu épargnes €100 à la fin de chaque mois pendant 14 ans. Le compte rapporte 5,4 % par an, capitalisés mensuellement. Combien as-tu épargné à la fin ? Calcule FV.

A = €1005,4% / 12N = 168

FV = €

3.VAN et TRIMoyen

Une machine coûte €40 000 aujourd’hui, dure 10 ans et coûte €1 000 par an en fonctionnement (payés à la fin de chaque année). Le coût du capital est de 10 %. Trouvez son coût annuel équivalent EAC.

C₀ = €40 000M = €1 000n = 10r = 10%

EAC = €

4.VAN et TRIDifficile

Un projet coûte €100 000 aujourd’hui. Son flux vaut €25 000 à la fin de l’année 1 et croît de 4 % par an jusqu’au dernier flux à la fin de l’année 4. Le coût du capital est de 8 %. Trouvez la valeur actuelle nette NPV.

C₀ = €100 000CF₁ = €25 000g = 4%n = 4r = 8%

NPV = €

5.Prix et rendement des obligationsMoyen

Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 7% en deux versements semestriels et arrive à échéance dans 10 ans. Le taux de rendement actuariel est de 6% par an. Trouvez le prix P de l’obligation.

F = €1 000coupon = 7%YTM = 6%n = 10

P = €

6.Prix et rendement des obligationsDifficile

Une obligation cote €1 060 avec un taux de rendement actuariel de 6% (capitalisation annuelle) et une duration de Macaulay de 5,6 ans. Utilisez la duration modifiée pour estimer le nouveau prix P si le rendement baisse de 75 points de base.

P₀ = €1 060y = 6%D = 5,6Δy = −75 bp

P = €

7.CAPM et WACCMoyen

Une entreprise a des capitaux propres de €8 000 000 et une dette de €1 000 000. Son coût des capitaux propres est de 11%, son coût de la dette avant impôt de 4% et le taux d’imposition de 20%. Trouvez le WACC.

E = €8 000 000D = €1 000 000r_e = 11%r_d = 4%T = 20%

WACC = %

8.CAPM et WACCDifficile

Une entreprise a 4 000 000 actions cotant €35,50 ; la valeur comptable de ses capitaux propres est de €71 000 000. Elle vient de verser un dividende de €2,30 par action, et les dividendes croissent de 4% par an. Sa dette a une valeur de marché de €42 600 000 et un coût avant impôt de 5%. Le taux d’imposition est de 28%. Trouvez le WACC en utilisant le modèle de croissance des dividendes pour le coût des capitaux propres.

N = 4 000 000P₀ = €35,50capitaux propres comptables = €71 000 000D₀ = €2,30g = 4%D = €42 600 000r_d = 5%T = 28%

WACC = %

9.Seuil de rentabilitéMoyen

Un produit se vend €13 l'unité avec un coût variable de €8 par unité. Les coûts fixes sont de €20 000 par mois. Combien d'unités Q faut-il vendre par mois pour faire un bénéfice de €10 000 ?

F = €20 000p = €13v = €8bénéfice = €10 000

Q = unités

10.Seuil de rentabilitéDifficile

Une entreprise vend 3 000 unités à €13 chacune, avec un coût variable de €8 par unité et des coûts fixes de €7 500. De quel pourcentage %ΔΠ le résultat d’exploitation varie-t-il si le volume des ventes baisse de 8 % ?

Q = 3 000p = €13v = €8F = €7 500%ΔQ = −8%

%ΔΠ = %

3Solutions

1.Valeur temps de l'argent

Réponse: FV = 2227 €

Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)ⁿ. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.

Taux et nombre de périodes

i = r/m = 0,036000000000000004/4 = 0,009

N = m·n = 4·3 = 12

Valeur future

FV = 2 000·(1 + 0,009)¹² = 2 000·1,114 = €2 227,02

Réponse

FV = €2 227,02

2.Valeur temps de l'argent

Réponse: FV = 25025 €

Taux mensuel et nombre de versements

i = 0,054000000000000006/12 = 0,0045

N = 12·14 = 168

Valeur future des versements

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 100·(2,126 − 1)/0,0045 = €25 025,14

Réponse

FV = €25 025,14

Tu as versé toi-même €16 800 ; le reste, ce sont des intérêts.

3.VAN et TRI

Réponse: EAC = 7510 €

Coût annuel équivalent : répartissez la valeur actuelle de tous les coûts sur la durée de vie sous forme d’un montant annuel constant (une annuité) : EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Cela permet de comparer des machines de durées de vie différentes.

Facteur d’annuité

(1 − 1,1⁻¹⁰)/0,1 = 6,145

Prix d’achat annualisé

40 000/6,145 = 6 509,82

EAC

EAC = 6 509,82 + 1 000 = €7 509,82

Réponse

EAC = €7 509,82

4.VAN et TRI

Réponse: NPV = −12426 €

Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.

Valeur actuelle de l’annuité croissante

((1,04)/(1,08))⁴ = 0,8599

PV = 25 000/(0,08 − 0,04)·(1 − 0,8599) = 87 574,40

NPV

NPV = 87 574,40 − 100 000 = −€12 425,60

Réponse

NPV = −€12 425,60

La VAN est négative : le projet rapporte moins que le rendement exigé.

5.Prix et rendement des obligations

Réponse: P = 1074 €

Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.

Par période

C = €35,00, i = 0,03, N = 20

Valeur actuelle des coupons

€35,00·(1 − 0,5537)/0,03 = €520,71

Valeur actuelle du nominal

€1 000·0,5537 = €553,68

Prix

P = €1 074,39

Réponse

P = €1 074,39

Le rendement est inférieur au taux du coupon, donc l’obligation se vend avec une prime (au-dessus du pair).

6.Prix et rendement des obligations

Réponse: P = 1102 €

Duration : la duration de Macaulay est la date moyenne pondérée à laquelle une obligation verse ses flux, avec les valeurs actuelles des flux comme poids : D = Σ t·PVₜ/P. La duration modifiée D/(1 + y) estime la variation en pourcentage du prix pour une petite variation du rendement : %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Duration modifiée

D_mod = 5,6/1,06 = 5,283

Variation de prix estimée

%ΔP ≈ −5,283·(−0,0075) = 3,962%

P ≈ 1060·(1 + 0,03962) = €1 102,00

Réponse

P = €1 102,00

La duration est une estimation linéaire ; pour de fortes variations de rendement, la convexité rend le vrai prix un peu plus élevé.

7.CAPM et WACC

Réponse: WACC = 10,13 %

Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).

Pondérations

V = €9 000 000, E/V = 0,8889, D/V = 0,1111

WACC

WACC = 0,8889·11% + 0,1111·4%·(1 − 0,2) = 10,13%

Réponse

WACC = 10,13%

8.CAPM et WACC

Réponse: WACC = 9,091 %

Coût des capitaux propres

D₁ = 2,3·1,04 = €2,39

r_e = 2,392/35,5 + 0,04 = 10,74%

Valeurs de marché

E = 4 000 000·€35,50 = €142 000 000

V = €184 600 000, E/V = 0,7692, D/V = 0,2308

WACC

WACC = 0,7692·10,74% + 0,2308·5%·(1 − 0,28) = 9,091%

Réponse

WACC = 9,091%

9.Seuil de rentabilité

Réponse: Q = 6000 unités

Coût-volume-profit : chaque unité vendue rapporte une marge sur coût variable, le prix moins le coût variable unitaire. Bénéfice = Q·(p − v) − F, où F est le coût fixe. Au seuil de rentabilité le bénéfice est nul, donc Q = F/(p − v).

Marge unitaire sur coût variable

p − v = 13 − 8 = €5

Unités pour le bénéfice visé

Q = (F + bénéfice)/(p − v) = (20 000 + 10 000)/5 = 6 000

Réponse

Q = 6 000 unités

10.Seuil de rentabilité

Réponse: %ΔΠ = −16 %

Levier opérationnel : les coûts fixes font réagir le bénéfice plus fortement que les ventes. Le degré de levier opérationnel DOL = marge sur coût variable/résultat d’exploitation indique qu’une variation de 1 % des ventes modifie le bénéfice de DOL %. Il est très élevé juste au-dessus du seuil de rentabilité et diminue quand les ventes augmentent.

Marge sur coût variable et bénéfice

CM = 3 000·5 = €15 000

Π = 15 000 − 7 500 = €7 500

DOL

DOL = 15 000/7 500 = 2

Variation du bénéfice

%ΔΠ = 2·(−8%) = −16%

Réponse

%ΔΠ = −16%

Vérification : nouveau bénéfice = 2 760·5 − 7 500 = €6 300,00.

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