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1Formules et méthodes
Valeur temps de l'argent
Valeur future
FV = PV·(1 + i)n
Valeur actuelle
PV = FV/(1 + i)n
Plusieurs périodes par an
i = r/m, N = m·n
Annuités, valeur actuelle
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Annuités, valeur future
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Méthode
Tracez un axe du temps avec chaque flux de trésorerie et sa date.
Faites correspondre le taux à la période : un taux mensuel pour des versements mensuels.
Utilisez FV = PV·(1 + i)ⁿ pour les montants uniques et les formules d’annuités pour les versements constants.
Vérifiez le signe et l’ordre de grandeur de la réponse.
VAN et TRI
Valeur actuelle nette
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flux égaux
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taux de rendement interne
le r pour lequel NPV = 0
Décision
accepter si NPV > 0 (ou IRR > rendement exigé)
Méthode
Listez tous les flux de trésorerie avec leur année ; l’investissement de l’année 0 est négatif.
Actualisez chaque flux : CFt/(1 + r)t.
Additionnez-les pour obtenir la VAN. Une valeur positive signifie que le projet rapporte plus que r.
Pour le TRI, trouvez le taux qui annule la VAN, par tâtonnement ou par interpolation.
Prix et rendement des obligations
Prix de l’obligation
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Coupons semestriels
C/2, y/2 et 2n périodes
Rendement courant
C/P
Prix et rendement
rendement en hausse → prix en baisse
Méthode
Trouvez le coupon par période et le rendement par période.
Prix = valeur actuelle des coupons (une annuité) + valeur actuelle de la valeur nominale.
Pour des coupons semestriels, prenez la moitié du coupon, la moitié du rendement et deux fois plus de périodes.
Vérification : si le rendement est supérieur au taux du coupon, le prix est inférieur à la valeur nominale.
CAPM et WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valeur de l’entreprise
V = E + D
Seuil de rentabilité
Marge sur coût variable
CM = p − v
Quantité au seuil de rentabilité
QBE = FC/(p − v)
Bénéfice visé
Q = (FC + profit)/(p − v)
Bénéfice
π = (p − v)·Q − FC
Marge de sécurité
(Q − QBE)/Q
2Exercices
1.Valeur temps de l'argentMoyen
Un bien immobilier devrait rapporter un loyer net de €6 000 l’année prochaine. Le loyer devrait croître de 1 % par an indéfiniment. Le rendement exigé est de 6 % par an. Trouvez la valeur PV du bien aujourd’hui.
C1 = €6 000g = 1%r = 6%
PV = €
2.Valeur temps de l'argentDifficile
Vous versez €1 000 au début de chaque année pendant 24 ans, le premier versement ayant lieu aujourd’hui. Le compte rapporte 5 % par an. Combien y a-t-il sur le compte à la fin de l’année 24 ? Trouvez FV.
A = €1 000i = 5%n = 24
FV = €
3.VAN et TRIMoyen
Un projet coûte €50 000 aujourd’hui et rapporte €13 500 à la fin de chaque année pendant 6 ans. Le coût du capital est de 8 %. Supposez que les flux arrivent régulièrement au cours de chaque année. Trouvez le délai de récupération actualisé DPB en années.
Un projet coûte €40 000 et rapporte €27 500, €20 500 à la fin des années 1 à 2. Calcule son taux de rendement interne IRR en pourcentage.
CF0 = −40 000CF1 = 27 500CF2 = 20 500
IRR = %
5.Prix et rendement des obligationsMoyen
Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 4,5% et arrive à échéance dans 5 ans. Son taux de rendement actuariel passe de 5,5% à 4%. De combien ΔP le prix de l’obligation varie-t-il ?
F = €1 000coupon = 4,5%n = 5y1 = 5,5%y2 = 4%
ΔP = €
6.Prix et rendement des obligationsDifficile
Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 5% en deux versements semestriels et arrive à échéance dans 7 ans. Elle se vend €1 061. Trouvez son taux de rendement actuariel YTM sous forme de taux annuel (deux fois le rendement semestriel), en pourcentage.
F = €1 000coupon = 5% (2×)n = 7P = €1 061
YTM = %
7.CAPM et WACCMoyen
Une action de bêta 2 a un rendement exigé de 15%. Le taux sans risque est de 2%. Quel rendement attendu du marché rm le CAPM implique-t-il ?
β = 2re = 15%rf = 2%
rm = %
8.CAPM et WACCDifficile
Les actions d’une entreprise ont un bêta de 1,2 pour son ratio dette/capitaux propres actuel de 0,2. Elle prévoit de porter ce ratio à 0,75. Le taux d’imposition est de 25%, le taux sans risque de 4% et la prime de risque du marché de 7%. Trouvez le coût des capitaux propres re après ce changement.
Une entreprise vend 6 000 unités à €24 chacune. Le coût variable est de €20 par unité et les coûts fixes s’élèvent à €16 000. Trouvez le degré de levier opérationnel DOL à ce niveau de ventes.
Q = 6 000p = €24v = €20F = €16 000
DOL =
10.Seuil de rentabilitéDifficile
Un produit se vend €12 l'unité, avec un coût variable de €6 par unité et des coûts fixes de €30 000 par an. Les ventes prévues sont de 6 500 unités. Calcule la marge de sécurité MS en pourcentage des ventes prévues.
F = €30 000p = €12v = €6prévision = 6 500
MS = %
3Solutions
1.Valeur temps de l'argent
Réponse: PV = 120000 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Facteur d’annuité ordinaire
((1 + 0,05)24 − 1)/0,05 = 44,5
Annuité de début de période
Chaque versement est placé un an de plus.
FV = 1 000·44,5·1,05 = €46 727,10
Réponse
FV = €46 727,10
3.VAN et TRI
Réponse: DPB = 4,575 ans
Délai de récupération : le temps nécessaire pour que les flux de trésorerie cumulés remboursent l’investissement initial. On suppose que la trésorerie arrive régulièrement au cours de chaque année, donc la dernière partie est une fraction d’année. Le délai de récupération simple ignore la valeur temps de l’argent ; le délai de récupération actualisé utilise à la place les flux actualisés.
Flux actualisés et cumulés
année 1: 13 500/1,08 = 12 500,00 → Σ = 12 500,00
année 2: 13 500/1,166 = 11 574,07 → Σ = 24 074,07
année 3: 13 500/1,26 = 10 716,74 → Σ = 34 790,81
année 4: 13 500/1,36 = 9 922,90 → Σ = 44 713,71
année 5: 13 500/1,469 = 9 187,87 → Σ = 53 901,59
Fraction de la dernière année
DPB = 4 + 5 286,29/9 187,87 = 4,575
Réponse
DPB = 4,575 ans
Le délai de récupération actualisé est toujours plus long que le délai de récupération simple (3,704 ans).
4.VAN et TRI
Réponse: IRR = 13,79 %
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Encadrer le TRI
La VAN baisse quand le taux augmente, donc le TRI se trouve entre un taux à VAN positive et un taux à VAN négative.
NPV(10%) = 1 942,15
NPV(15%) = −586,01
Resserrer
L'interpolation linéaire donne une première estimation ; la répéter (ou utiliser la fonction TRI d'une calculatrice) donne le taux exact.
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Par période
C = €25,00, N = 14
Résoudre numériquement
i = 1,996% par semestre
YTM
YTM = 2·1,996% = 3,993%
Réponse
YTM = 3,993%
7.CAPM et WACC
Réponse: rm = 8,5 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Prime de risque du marché
rm − rf = (15% − 2%)/2 = 6,5%
Rendement du marché
rm = 2% + 6,5% = 8,5%
Réponse
rm = 8,5%
8.CAPM et WACC
Réponse: re = 15,41 %
Bêta endetté (Hamada) : la dette rend les capitaux propres plus risqués. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), où βU est le bêta de l’activité sans dette. Pour transposer un bêta à une autre structure du capital, désendettez-le d’abord, puis réendettez-le au nouveau D/E.
Désendetter le bêta
βU = 1,2/(1 + 0,75·0,2) = 1,043
Réendetter au nouveau D/E
βL = 1,043·(1 + 0,75·0,75) = 1,63
Coût des capitaux propres (CAPM)
re = 4% + 1,63·7% = 15,41%
Réponse
re = 15,41%
9.Seuil de rentabilité
Réponse: DOL = 3
Levier opérationnel : les coûts fixes font réagir le bénéfice plus fortement que les ventes. Le degré de levier opérationnel DOL = marge sur coût variable/résultat d’exploitation indique qu’une variation de 1 % des ventes modifie le bénéfice de DOL %. Il est très élevé juste au-dessus du seuil de rentabilité et diminue quand les ventes augmentent.
Marge sur coût variable totale
CM = 6 000·(24 − 20) = €24 000
Résultat d’exploitation
Π = 24 000 − 16 000 = €8 000
DOL
DOL = 24 000/8 000 = 3
Réponse
DOL = 3
10.Seuil de rentabilité
Réponse: MS = 23,08 %
Coût-volume-profit : chaque unité vendue rapporte une marge sur coût variable, le prix moins le coût variable unitaire. Bénéfice = Q·(p − v) − F, où F est le coût fixe. Au seuil de rentabilité le bénéfice est nul, donc Q = F/(p − v).