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1Formules et méthodes
Valeur temps de l'argent
Valeur future
FV = PV·(1 + i)n
Valeur actuelle
PV = FV/(1 + i)n
Plusieurs périodes par an
i = r/m, N = m·n
Annuités, valeur actuelle
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Annuités, valeur future
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Méthode
Tracez un axe du temps avec chaque flux de trésorerie et sa date.
Faites correspondre le taux à la période : un taux mensuel pour des versements mensuels.
Utilisez FV = PV·(1 + i)ⁿ pour les montants uniques et les formules d’annuités pour les versements constants.
Vérifiez le signe et l’ordre de grandeur de la réponse.
VAN et TRI
Valeur actuelle nette
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flux égaux
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taux de rendement interne
le r pour lequel NPV = 0
Décision
accepter si NPV > 0 (ou IRR > rendement exigé)
Méthode
Listez tous les flux de trésorerie avec leur année ; l’investissement de l’année 0 est négatif.
Actualisez chaque flux : CFt/(1 + r)t.
Additionnez-les pour obtenir la VAN. Une valeur positive signifie que le projet rapporte plus que r.
Pour le TRI, trouvez le taux qui annule la VAN, par tâtonnement ou par interpolation.
Prix et rendement des obligations
Prix de l’obligation
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Coupons semestriels
C/2, y/2 et 2n périodes
Rendement courant
C/P
Prix et rendement
rendement en hausse → prix en baisse
Méthode
Trouvez le coupon par période et le rendement par période.
Prix = valeur actuelle des coupons (une annuité) + valeur actuelle de la valeur nominale.
Pour des coupons semestriels, prenez la moitié du coupon, la moitié du rendement et deux fois plus de périodes.
Vérification : si le rendement est supérieur au taux du coupon, le prix est inférieur à la valeur nominale.
CAPM et WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valeur de l’entreprise
V = E + D
Seuil de rentabilité
Marge sur coût variable
CM = p − v
Quantité au seuil de rentabilité
QBE = FC/(p − v)
Bénéfice visé
Q = (FC + profit)/(p − v)
Bénéfice
π = (p − v)·Q − FC
Marge de sécurité
(Q − QBE)/Q
2Exercices
1.Valeur temps de l'argentMoyen
Une carte de crédit applique un taux d’intérêt nominal de 20 % par an, capitalisé trimestriellement. Trouvez le taux annuel effectif EAR en pourcentage.
r = 20%m = 4
EAR = %
2.Valeur temps de l'argentDifficile
Un prêt de €150 000 est remboursé par mensualités égales sur 30 ans. Le taux d'intérêt est de 7,2 % par an, capitalisés mensuellement. Calcule la mensualité A.
P = €150 0007,2% / 12N = 360
A = €
3.VAN et TRIMoyen
Un projet coûte €500 000 aujourd’hui. Il génère €44 000 à la fin de la première année, puis le flux croît de 4 % par an indéfiniment. Le coût du capital est de 12 %. Trouvez la valeur actuelle nette NPV.
C0 = €500 000CF1 = €44 000g = 4%r = 12%
NPV = €
4.VAN et TRIDifficile
Un projet coûte €150 000 aujourd’hui. Son flux vaut €45 000 à la fin de l’année 1 et croît de 5 % par an jusqu’au dernier flux à la fin de l’année 4. Le coût du capital est de 8 %. Trouvez la valeur actuelle nette NPV.
C0 = €150 000CF1 = €45 000g = 5%n = 4r = 8%
NPV = €
5.Prix et rendement des obligationsMoyen
Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 7% et arrive à échéance dans 15 ans. Son taux de rendement actuariel passe de 5% à 3%. De combien ΔP le prix de l’obligation varie-t-il ?
F = €1 000coupon = 7%n = 15y1 = 5%y2 = 3%
ΔP = €
6.Prix et rendement des obligationsDifficile
Une obligation à 14 ans de l’échéance (valeur nominale €1 000, coupon annuel 8%) se vend €1 240. L’émetteur peut la rembourser par anticipation dans 3 ans à un prix de remboursement anticipé de €1 080. Trouvez le rendement au remboursement anticipé YTC en pourcentage.
F = €1 000coupon = 8%P = €1 240prix de remboursement anticipé = €1 080remboursement anticipé dans 3 ans
YTC = %
7.CAPM et WACCMoyen
Une entreprise a des capitaux propres de €2 000 000 et une dette de €1 000 000. Son coût des capitaux propres est de 11%, son coût de la dette avant impôt de 7% et le taux d’imposition de 28%. Trouvez le WACC.
Une entreprise a 5 000 000 actions cotant €42,00 ; la valeur comptable de ses capitaux propres est de €105 000 000. Elle vient de verser un dividende de €0,80 par action, et les dividendes croissent de 5% par an. Sa dette a une valeur de marché de €210 000 000 et un coût avant impôt de 4,5%. Le taux d’imposition est de 21%. Trouvez le WACC en utilisant le modèle de croissance des dividendes pour le coût des capitaux propres.
Un produit se vend €65 avec un coût variable de €45 par unité. Les coûts fixes s’élèvent à €50 000 par mois et le bénéfice est imposé à 20 %. Combien d’unités Q faut-il vendre par mois pour gagner €20 000 après impôt ?
p = €65v = €45F = €50 000T = 20%bénéfice après impôt = €20 000
Q = unités
10.Seuil de rentabilitéDifficile
Une entreprise vend 1 600 unités à €28 chacune, avec un coût variable de €25 par unité et des coûts fixes de €3 000. De quel pourcentage %ΔΠ le résultat d’exploitation varie-t-il si le volume des ventes augmente de 15 % ?
Q = 1 600p = €28v = €25F = €3 000%ΔQ = +15%
%ΔΠ = %
3Solutions
1.Valeur temps de l'argent
Réponse: EAR = 21,55 %
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Taux par période
r/m = 0,2/4 = 0,05
Capitaliser sur un an
EAR = (1 + 0,05)4 − 1 = 1,216 − 1 = 21,55%
Réponse
EAR = 21,55%
Le taux annuel effectif est toujours supérieur au taux nominal quand les intérêts sont capitalisés plus d’une fois par an.
2.Valeur temps de l'argent
Réponse: A = 1018 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Taux mensuel et nombre de mensualités
i = 0,07200000000000001/12 = 0,006
N = 12·30 = 360
Mensualité
La valeur actuelle de N paiements égaux A vaut A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Égale-la au prêt et résous pour A.
(1 + i)−N = 0,1161
A = 150 000·0,006/(1 − 0,1161) = €1 018,18
Réponse
A = €1 018,18
3.VAN et TRI
Réponse: NPV = 50000 €
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Valeur des flux
PV = 44 000/(0,12 − 0,04) = 550 000,00
NPV
NPV = 550 000,00 − 500 000 = €50 000,00
Réponse
NPV = €50 000,00
La VAN est positive : le projet rapporte plus que le rendement exigé.
4.VAN et TRI
Réponse: NPV = 9850 €
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
La VAN est positive : le projet rapporte plus que le rendement exigé.
5.Prix et rendement des obligations
Réponse: ΔP = 269,9 €
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Équation du rendement
1240 = 80·(1 − (1 + y)−3)/y + 1080/(1 + y)3
Résoudre numériquement
y = 2%: €1 248,42
y = 3%: €1 214,64
YTC = 2,246%
Réponse
YTC = 2,246%
Le taux de rendement actuariel à l’échéance est de 5,498%. Les investisseurs d’une obligation cotant au-dessus du pair s’attendent à un remboursement anticipé, donc le rendement au remboursement anticipé, plus faible, est le plus réaliste.
7.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 9,013 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Pondérations
V = €3 000 000, E/V = 0,6667, D/V = 0,3333
WACC
WACC = 0,6667·11% + 0,3333·7%·(1 − 0,28) = 9,013%
Réponse
WACC = 9,013%
8.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 5,278 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Coût des capitaux propres
D1 = 0,8·1,05 = €0,84
re = 0,84/42 + 0,05 = 7%
Valeurs de marché
E = 5 000 000·€42,00 = €210 000 000
V = €420 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·7% + 0,5·4,5%·(1 − 0,21) = 5,278%
Réponse
WACC = 5,278%
9.Seuil de rentabilité
Réponse: Q = 3750 unités
Coût-volume-profit : chaque unité vendue rapporte une marge sur coût variable, le prix moins le coût variable unitaire. Bénéfice = Q·(p − v) − F, où F est le coût fixe. Au seuil de rentabilité le bénéfice est nul, donc Q = F/(p − v).
Bénéfice avant impôt nécessaire
20 000/(1 − 0,2) = €25 000
Unités nécessaires
Q = (50 000 + 25 000)/20 = 3 750
Réponse
Q = 3 750 unités
10.Seuil de rentabilité
Réponse: %ΔΠ = 40 %
Levier opérationnel : les coûts fixes font réagir le bénéfice plus fortement que les ventes. Le degré de levier opérationnel DOL = marge sur coût variable/résultat d’exploitation indique qu’une variation de 1 % des ventes modifie le bénéfice de DOL %. Il est très élevé juste au-dessus du seuil de rentabilité et diminue quand les ventes augmentent.