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1Formules et méthodes
Valeur temps de l'argent
Valeur future
FV = PV·(1 + i)n
Valeur actuelle
PV = FV/(1 + i)n
Plusieurs périodes par an
i = r/m, N = m·n
Annuités, valeur actuelle
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Annuités, valeur future
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Méthode
Tracez un axe du temps avec chaque flux de trésorerie et sa date.
Faites correspondre le taux à la période : un taux mensuel pour des versements mensuels.
Utilisez FV = PV·(1 + i)ⁿ pour les montants uniques et les formules d’annuités pour les versements constants.
Vérifiez le signe et l’ordre de grandeur de la réponse.
VAN et TRI
Valeur actuelle nette
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flux égaux
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taux de rendement interne
le r pour lequel NPV = 0
Décision
accepter si NPV > 0 (ou IRR > rendement exigé)
Méthode
Listez tous les flux de trésorerie avec leur année ; l’investissement de l’année 0 est négatif.
Actualisez chaque flux : CFt/(1 + r)t.
Additionnez-les pour obtenir la VAN. Une valeur positive signifie que le projet rapporte plus que r.
Pour le TRI, trouvez le taux qui annule la VAN, par tâtonnement ou par interpolation.
Prix et rendement des obligations
Prix de l’obligation
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Coupons semestriels
C/2, y/2 et 2n périodes
Rendement courant
C/P
Prix et rendement
rendement en hausse → prix en baisse
Méthode
Trouvez le coupon par période et le rendement par période.
Prix = valeur actuelle des coupons (une annuité) + valeur actuelle de la valeur nominale.
Pour des coupons semestriels, prenez la moitié du coupon, la moitié du rendement et deux fois plus de périodes.
Vérification : si le rendement est supérieur au taux du coupon, le prix est inférieur à la valeur nominale.
CAPM et WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valeur de l’entreprise
V = E + D
Seuil de rentabilité
Marge sur coût variable
CM = p − v
Quantité au seuil de rentabilité
QBE = FC/(p − v)
Bénéfice visé
Q = (FC + profit)/(p − v)
Bénéfice
π = (p − v)·Q − FC
Marge de sécurité
(Q − QBE)/Q
2Exercices
1.Valeur temps de l'argentMoyen
Un bien immobilier devrait rapporter un loyer net de €20 000 l’année prochaine. Le loyer devrait croître de 3 % par an indéfiniment. Le rendement exigé est de 8 % par an. Trouvez la valeur PV du bien aujourd’hui.
C1 = €20 000g = 3%r = 8%
PV = €
2.Valeur temps de l'argentDifficile
Un prêt immobilier de €250 000 est remboursé par mensualités constantes sur 20 ans à 4,8 % par an, capitalisé mensuellement. Combien reste-t-il à rembourser juste après le versement de la fin de l’année 13 ? Trouvez le capital restant dû B.
P = €250 0004,8% / 12N = 240k = 156
B = €
3.VAN et TRIMoyen
Un projet coûte €500 000 aujourd’hui. Il génère €30 000 à la fin de la première année, puis le flux croît de 4 % par an indéfiniment. Le coût du capital est de 9 %. Trouvez la valeur actuelle nette NPV.
C0 = €500 000CF1 = €30 000g = 4%r = 9%
NPV = €
4.VAN et TRIDifficile
Un projet coûte €50 000 et rapporte €27 500, €21 000, €26 500 à la fin des années 1 à 3. Les flux peuvent être réinvestis au coût du capital de 6 %. Trouvez le taux de rendement interne modifié MIRR en pourcentage.
Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 6% et arrive à échéance dans 7 ans. Son taux de rendement actuariel passe de 2,5% à 1%. De combien ΔP le prix de l’obligation varie-t-il ?
F = €1 000coupon = 6%n = 7y1 = 2,5%y2 = 1%
ΔP = €
6.Prix et rendement des obligationsDifficile
Une obligation de valeur nominale €1 000 avec un coupon annuel de 7% arrive à échéance dans 3 ans et se vend €960. Trouvez son taux de rendement actuariel YTM en pourcentage.
F = €1 000coupon = 7%n = 3P = €960
YTM = %
7.CAPM et WACCMoyen
Une entreprise est financée par des actions ordinaires valant €5 000 000, des actions privilégiées valant €1 000 000 et une dette valant €6 000 000. Le coût des capitaux propres est de 9%, le coût des actions privilégiées de 6% et le coût de la dette avant impôt de 5%. Le taux d’imposition est de 20%. Trouvez le WACC.
Une entreprise a 1 000 000 actions cotant €19,50 ; la valeur comptable de ses capitaux propres est de €11 700 000. Elle vient de verser un dividende de €2,40 par action, et les dividendes croissent de 3% par an. Sa dette a une valeur de marché de €9 800 000 et un coût avant impôt de 4,5%. Le taux d’imposition est de 28%. Trouvez le WACC en utilisant le modèle de croissance des dividendes pour le coût des capitaux propres.
Un produit se vend €19 l'unité avec un coût variable de €4 par unité. Les coûts fixes sont de €15 000 par mois. Combien d'unités Q faut-il vendre par mois pour faire un bénéfice de €6 000 ?
F = €15 000p = €19v = €4bénéfice = €6 000
Q = unités
10.Seuil de rentabilitéDifficile
Une entreprise vend 3 750 unités par mois à €12 chacune, avec un coût variable de €4 par unité et des coûts fixes de €20 000 par mois. Le coût variable augmente de €4 par unité et le prix reste le même. Combien d’unités Q faut-il désormais vendre par mois pour conserver le même bénéfice ?
Q = 3 750p = €12v = €4 → €8F = €20 000
Q = unités
3Solutions
1.Valeur temps de l'argent
Réponse: PV = 400000 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Ce qui reste dû doit être exactement remboursé par les versements restants.
N − k = 240 − 156 = 84
B = 1622·(1 − (1 + 0,004)−84)/0,004 = €115 554,09
Réponse
B = €115 554,09
3.VAN et TRI
Réponse: NPV = 100000 €
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Valeur des flux
PV = 30 000/(0,09 − 0,04) = 600 000,00
NPV
NPV = 600 000,00 − 500 000 = €100 000,00
Réponse
NPV = €100 000,00
La VAN est positive : le projet rapporte plus que le rendement exigé.
4.VAN et TRI
Réponse: MIRR = 16,79 %
TRI modifié : capitalisez chaque encaissement jusqu’à la fin du projet au taux de réinvestissement (en général le coût du capital) pour obtenir la valeur terminale TV. Le TRIM est le taux qui transforme l’investissement initial en TV : MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.
Valeur terminale des encaissements
27 500·1,062 = 30 899,00
21 000·1,061 = 22 260,00
26 500·1,060 = 26 500,00
TV = 79 659,00
MIRR
MIRR = (79 659,00/50 000)1/3 − 1 = 16,79%
Réponse
MIRR = 16,79%
5.Prix et rendement des obligations
Réponse: ΔP = 114,2 €
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Équation du rendement
€960 = €70·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³
Résoudre numériquement
P(8%) = €974,23, P(9%) = €949,37
YTM = 8,568%
Réponse
YTM = 8,568%
7.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 6,25 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Coût-volume-profit : chaque unité vendue rapporte une marge sur coût variable, le prix moins le coût variable unitaire. Bénéfice = Q·(p − v) − F, où F est le coût fixe. Au seuil de rentabilité le bénéfice est nul, donc Q = F/(p − v).
Coût-volume-profit : chaque unité vendue rapporte une marge sur coût variable, le prix moins le coût variable unitaire. Bénéfice = Q·(p − v) − F, où F est le coût fixe. Au seuil de rentabilité le bénéfice est nul, donc Q = F/(p − v).