Finance d’entreprise : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 10 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Valeur temps de l'argent

Valeur future: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valeur actuelle: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Plusieurs périodes par an: i = r/m, N = m·n
Annuités, valeur actuelle: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Annuités, valeur future: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Méthode

Tracez un axe du temps avec chaque flux de trésorerie et sa date.
Faites correspondre le taux à la période : un taux mensuel pour des versements mensuels.
Utilisez FV = PV·(1 + i)ⁿ pour les montants uniques et les formules d’annuités pour les versements constants.
Vérifiez le signe et l’ordre de grandeur de la réponse.

VAN et TRI

Valeur actuelle nette: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Flux égaux: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Taux de rendement interne: le r pour lequel NPV = 0
Décision: accepter si NPV > 0 (ou IRR > rendement exigé)

Méthode

Listez tous les flux de trésorerie avec leur année ; l’investissement de l’année 0 est négatif.
Actualisez chaque flux : CF_t/(1 + r)^t.
Additionnez-les pour obtenir la VAN. Une valeur positive signifie que le projet rapporte plus que r.
Pour le TRI, trouvez le taux qui annule la VAN, par tâtonnement ou par interpolation.

Prix et rendement des obligations

Prix de l’obligation: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Coupons semestriels: C/2, y/2 et 2n périodes
Rendement courant: C/P
Prix et rendement: rendement en hausse → prix en baisse

Méthode

Trouvez le coupon par période et le rendement par période.
Prix = valeur actuelle des coupons (une annuité) + valeur actuelle de la valeur nominale.
Pour des coupons semestriels, prenez la moitié du coupon, la moitié du rendement et deux fois plus de périodes.
Vérification : si le rendement est supérieur au taux du coupon, le prix est inférieur à la valeur nominale.

CAPM et WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valeur de l’entreprise: V = E + D

Seuil de rentabilité

Marge sur coût variable: CM = p − v
Quantité au seuil de rentabilité: Q_BE = FC/(p − v)
Bénéfice visé: Q = (FC + profit)/(p − v)
Bénéfice: π = (p − v)·Q − FC
Marge de sécurité: (Q − Q_BE)/Q

2Exercices

1.Valeur temps de l'argentMoyen

Une annuité verse €1 000 à la fin de chaque année pendant 15 ans. Le taux d’intérêt est de 8 % par an. Trouvez la valeur actuelle PV de l’annuité.

A = €1 000i = 8%n = 15

PV = €

2.Valeur temps de l'argentDifficile

Tu épargnes €150 à la fin de chaque mois pendant 12 ans. Le compte rapporte 4,2 % par an, capitalisés mensuellement. Combien as-tu épargné à la fin ? Calcule FV.

A = €1504,2% / 12N = 144

FV = €

3.VAN et TRIMoyen

Une machine coûte €80 000 aujourd’hui, dure 4 ans et coûte €1 000 par an en fonctionnement (payés à la fin de chaque année). Le coût du capital est de 8 %. Trouvez son coût annuel équivalent EAC.

C₀ = €80 000M = €1 000n = 4r = 8%

EAC = €

4.VAN et TRIDifficile

Un projet coûte €40 000 et rapporte €17 500, €16 000, €17 500, €17 500 à la fin des années 1 à 4. Les flux peuvent être réinvestis au coût du capital de 12 %. Trouvez le taux de rendement interne modifié MIRR en pourcentage.

r = 12%CF₀ = −40 000CF₁ = 17 500CF₂ = 16 000CF₃ = 17 500CF₄ = 17 500

MIRR = %

5.Prix et rendement des obligationsMoyen

Vous achetez une obligation à 10 ans de l’échéance (valeur nominale €1 000, coupon annuel 8%) quand son taux de rendement actuariel est de 3,5%. Un an plus tard, juste après avoir perçu le premier coupon, vous la revendez quand le taux de rendement actuariel est de 5%. Trouvez votre rendement sur la période de détention HPR en pourcentage.

F = €1 000coupon = 8%n = 10y₀ = 3,5%y₁ = 5%

HPR = %

6.Prix et rendement des obligationsDifficile

Une obligation de valeur nominale €1 000 avec un coupon annuel de 4% arrive à échéance dans 10 ans et se vend €855. Trouvez son taux de rendement actuariel YTM en pourcentage.

F = €1 000coupon = 4%n = 10P = €855

YTM = %

7.CAPM et WACCMoyen

Une entreprise a des capitaux propres de €5 000 000 et une dette de €3 000 000. Son coût des capitaux propres est de 9%, son coût de la dette avant impôt de 3,5% et le taux d’imposition de 20%. Trouvez le WACC.

E = €5 000 000D = €3 000 000r_e = 9%r_d = 3,5%T = 20%

WACC = %

8.CAPM et WACCDifficile

Une entreprise a 1 000 000 actions à €23,50 chacune et 5 000 obligations cotées €1 050 chacune. Le coût de la dette avant impôt est de 4,5% et le taux d’imposition de 20%. Le bêta de l’action est de 0,9, le taux sans risque de 3,5% et la rentabilité du marché de 8%. Trouvez le WACC.

β = 0,9r_f = 3,5%r_m = 8%r_d = 4,5%T = 20%

WACC = %

9.Seuil de rentabilitéMoyen

Une entreprise vend 1 800 unités à €24 chacune. Le coût variable est de €12 par unité et les coûts fixes s’élèvent à €14 400. Trouvez le degré de levier opérationnel DOL à ce niveau de ventes.

Q = 1 800p = €24v = €12F = €14 400

DOL =

10.Seuil de rentabilitéDifficile

Une entreprise vend 5 000 unités à €16 chacune, avec un coût variable de €6 par unité et des coûts fixes de €25 000. De quel pourcentage %ΔΠ le résultat d’exploitation varie-t-il si le volume des ventes baisse de 10 % ?

Q = 5 000p = €16v = €6F = €25 000%ΔQ = −10%

%ΔΠ = %

3Solutions

1.Valeur temps de l'argent

Réponse: PV = 8559 €

Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)ⁿ. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.

Facteur d’annuité

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0,3152)/0,08 = 8,559

Valeur actuelle

PV = 1 000·8,559 = €8 559,48

Réponse

PV = €8 559,48

2.Valeur temps de l'argent

Réponse: FV = 28023 €

Taux mensuel et nombre de versements

i = 0,042/12 = 0,0035

N = 12·12 = 144

Valeur future des versements

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 150·(1,654 − 1)/0,0035 = €28 023,15

Réponse

FV = €28 023,15

Tu as versé toi-même €21 600 ; le reste, ce sont des intérêts.

3.VAN et TRI

Réponse: EAC = 25154 €

Coût annuel équivalent : répartissez la valeur actuelle de tous les coûts sur la durée de vie sous forme d’un montant annuel constant (une annuité) : EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Cela permet de comparer des machines de durées de vie différentes.

Facteur d’annuité

(1 − 1,08⁻⁴)/0,08 = 3,312

Prix d’achat annualisé

80 000/3,312 = 24 153,66

EAC

EAC = 24 153,66 + 1 000 = €25 153,66

Réponse

EAC = €25 153,66

4.VAN et TRI

Réponse: MIRR = 19,57 %

TRI modifié : capitalisez chaque encaissement jusqu’à la fin du projet au taux de réinvestissement (en général le coût du capital) pour obtenir la valeur terminale TV. Le TRIM est le taux qui transforme l’investissement initial en TV : MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

Valeur terminale des encaissements

17 500·1,12³ = 24 586,24

16 000·1,12² = 20 070,40

17 500·1,12¹ = 19 600,00

17 500·1,12⁰ = 17 500,00

TV = 81 756,64

MIRR

MIRR = (81 756,64/40 000)^1/4 − 1 = 19,57%

Réponse

MIRR = 19,57%

5.Prix et rendement des obligations

Réponse: HPR = −5,895 %

Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.

Prix d’achat

C = €80,00, i = 0,035, N = 10

€80,00·(1 − 0,7089)/0,035 + €1 000·0,7089 = €665,33 + €708,92 = €1 374,25

Prix de vente

C = €80,00, i = 0,05, N = 9

€80,00·(1 − 0,6446)/0,05 + €1 000·0,6446 = €568,63 + €644,61 = €1 213,23

Rendement sur la période de détention

HPR = (80 + 1 213,23 − 1 374,25)/1 374,25 = −5,895%

Réponse

HPR = −5,895%

6.Prix et rendement des obligations

Réponse: YTM = 5,967 %

Équation du rendement

€855 = €40·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰

Résoudre numériquement

P(5%) = €922,78, P(6%) = €852,80

YTM = 5,967%

Réponse

YTM = 5,967%

7.CAPM et WACC

Réponse: WACC = 6,675 %

Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).

Pondérations

V = €8 000 000, E/V = 0,625, D/V = 0,375

WACC

WACC = 0,625·9% + 0,375·3,5%·(1 − 0,2) = 6,675%

Réponse

WACC = 6,675%

8.CAPM et WACC

Réponse: WACC = 6,829 %

Valeurs de marché

E = 1 000 000·€23,50 = €23 500 000

D = 5 000·€1 050 = €5 250 000

Coût des capitaux propres (CAPM)

r_e = 3,5% + 0,9·4,5% = 7,55%

Pondérations

V = €28 750 000, E/V = 0,8174, D/V = 0,1826

WACC

WACC = 0,8174·7,55% + 0,1826·4,5%·(1 − 0,2) = 6,829%

Réponse

WACC = 6,829%

9.Seuil de rentabilité

Réponse: DOL = 3

Levier opérationnel : les coûts fixes font réagir le bénéfice plus fortement que les ventes. Le degré de levier opérationnel DOL = marge sur coût variable/résultat d’exploitation indique qu’une variation de 1 % des ventes modifie le bénéfice de DOL %. Il est très élevé juste au-dessus du seuil de rentabilité et diminue quand les ventes augmentent.

Marge sur coût variable totale

CM = 1 800·(24 − 12) = €21 600

Résultat d’exploitation

Π = 21 600 − 14 400 = €7 200

DOL

DOL = 21 600/7 200 = 3

Réponse

DOL = 3

10.Seuil de rentabilité

Réponse: %ΔΠ = −20 %

Marge sur coût variable et bénéfice

CM = 5 000·10 = €50 000

Π = 50 000 − 25 000 = €25 000

DOL

DOL = 50 000/25 000 = 2

Variation du bénéfice

%ΔΠ = 2·(−10%) = −20%

Réponse

%ΔΠ = −20%

Vérification : nouveau bénéfice = 4 500·10 − 25 000 = €20 000,00.

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