Finance d’entreprise : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 10 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Valeur temps de l'argent

Valeur future: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valeur actuelle: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Plusieurs périodes par an: i = r/m, N = m·n
Annuités, valeur actuelle: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Annuités, valeur future: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Méthode

Tracez un axe du temps avec chaque flux de trésorerie et sa date.
Faites correspondre le taux à la période : un taux mensuel pour des versements mensuels.
Utilisez FV = PV·(1 + i)ⁿ pour les montants uniques et les formules d’annuités pour les versements constants.
Vérifiez le signe et l’ordre de grandeur de la réponse.

VAN et TRI

Valeur actuelle nette: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Flux égaux: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Taux de rendement interne: le r pour lequel NPV = 0
Décision: accepter si NPV > 0 (ou IRR > rendement exigé)

Méthode

Listez tous les flux de trésorerie avec leur année ; l’investissement de l’année 0 est négatif.
Actualisez chaque flux : CF_t/(1 + r)^t.
Additionnez-les pour obtenir la VAN. Une valeur positive signifie que le projet rapporte plus que r.
Pour le TRI, trouvez le taux qui annule la VAN, par tâtonnement ou par interpolation.

Prix et rendement des obligations

Prix de l’obligation: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Coupons semestriels: C/2, y/2 et 2n périodes
Rendement courant: C/P
Prix et rendement: rendement en hausse → prix en baisse

Méthode

Trouvez le coupon par période et le rendement par période.
Prix = valeur actuelle des coupons (une annuité) + valeur actuelle de la valeur nominale.
Pour des coupons semestriels, prenez la moitié du coupon, la moitié du rendement et deux fois plus de périodes.
Vérification : si le rendement est supérieur au taux du coupon, le prix est inférieur à la valeur nominale.

CAPM et WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valeur de l’entreprise: V = E + D

Seuil de rentabilité

Marge sur coût variable: CM = p − v
Quantité au seuil de rentabilité: Q_BE = FC/(p − v)
Bénéfice visé: Q = (FC + profit)/(p − v)
Bénéfice: π = (p − v)·Q − FC
Marge de sécurité: (Q − Q_BE)/Q

2Exercices

1.Valeur temps de l'argentMoyen

Tu as besoin de €5 000 dans 2 ans. Un compte rapporte 4 % par an, capitalisés mensuellement. Combien dois-tu déposer aujourd'hui ? Calcule la valeur actuelle PV.

FV = €5 0004% / 12n = 2

PV = €

2.Valeur temps de l'argentDifficile

Vous versez €5 000 au début de chaque année pendant 17 ans, le premier versement ayant lieu aujourd’hui. Le compte rapporte 7 % par an. Combien y a-t-il sur le compte à la fin de l’année 17 ? Trouvez FV.

A = €5 000i = 7%n = 17

FV = €

3.VAN et TRIMoyen

Un investissement de €45 000 donne ces flux à la fin des années 1 à 3 : €12 000, €11 000, €14 000. Le coût du capital est de 9 %. Calcule la valeur actuelle nette NPV.

r = 9%CF₀ = −45 000CF₁ = 12 000CF₂ = 11 000CF₃ = 14 000

NPV = €

4.VAN et TRIDifficile

Un investissement de €20 000 rapporte €4 500 à la fin de chaque année pendant 7 ans. Trouvez son taux de rendement interne IRR en pourcentage.

C₀ = €20 000CF = €4 500n = 7

IRR = %

5.Prix et rendement des obligationsMoyen

Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 8% et arrive à échéance dans 13 ans. Son taux de rendement actuariel passe de 5% à 5,5%. De combien ΔP le prix de l’obligation varie-t-il ?

F = €1 000coupon = 8%n = 13y₁ = 5%y₂ = 5,5%

ΔP = €

6.Prix et rendement des obligationsDifficile

Une obligation de valeur nominale €1 000 avec un coupon annuel de 3% arrive à échéance dans 9 ans et se vend €925. Trouvez son taux de rendement actuariel YTM en pourcentage.

F = €1 000coupon = 3%n = 9P = €925

YTM = %

7.CAPM et WACCMoyen

Une action de bêta 0,9 a un rendement exigé de 6,4%. Le taux sans risque est de 1%. Quel rendement attendu du marché r_m le CAPM implique-t-il ?

β = 0,9r_e = 6,4%r_f = 1%

r_m = %

8.CAPM et WACCDifficile

L’activité d’une entreprise a un bêta désendetté (bêta de l’actif) de 0,9. Elle prévoit un ratio dette/capitaux propres de 0,5. Le taux d’imposition est de 25%, le taux sans risque de 1% et la prime de risque du marché de 6,5%. Trouvez le coût des capitaux propres r_e avec la nouvelle structure du capital.

β_U = 0,9D/E = 0,5T = 25%r_f = 1%r_m − r_f = 6,5%

r_e = %

9.Seuil de rentabilitéMoyen

Un produit se vend €19 l'unité avec un coût variable de €15 par unité. Les coûts fixes sont de €20 000 par mois. Combien d'unités Q faut-il vendre par mois pour faire un bénéfice de €6 000 ?

F = €20 000p = €19v = €15bénéfice = €6 000

Q = unités

10.Seuil de rentabilitéDifficile

Une entreprise vend 8 000 unités à €40 chacune, avec un coût variable de €25 par unité et des coûts fixes de €75 000. De quel pourcentage %ΔΠ le résultat d’exploitation varie-t-il si le volume des ventes augmente de 12 % ?

Q = 8 000p = €40v = €25F = €75 000%ΔQ = +12%

%ΔΠ = %

3Solutions

1.Valeur temps de l'argent

Réponse: PV = 4616 €

Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)ⁿ. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.

Taux et nombre de périodes

i = 0,04/12 = 0,003333

N = 12·2 = 24

Valeur actuelle

PV = FV/(1 + i)^N = 5 000/1,083 = €4 616,20

Réponse

PV = €4 616,20

2.Valeur temps de l'argent

Réponse: FV = 164995 €

Facteur d’annuité ordinaire

((1 + 0,07)¹⁷ − 1)/0,07 = 30,84

Annuité de début de période

Chaque versement est placé un an de plus.

FV = 5 000·30,84·1,07 = €164 995,16

Réponse

FV = €164 995,16

3.VAN et TRI

Réponse: NPV = −13922 €

Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.

Valeur actuelle de chaque flux

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0,09)¹ = 12 000/1,09 = 11 009,17

CF₂/(1 + 0,09)² = 11 000/1,188 = 9 258,48

CF₃/(1 + 0,09)³ = 14 000/1,295 = 10 810,57

Additionner

NPV = €−13 921,78

Réponse

NPV = €−13 921,78

La VAN est négative : le projet rapporte moins que le rendement exigé.

4.VAN et TRI

Réponse: IRR = 12,84 %

Facteur d’annuité requis

(1 − (1 + i)⁻⁷)/i = 20 000/4 500 = 4,444

Trouver le taux

Le facteur d’annuité diminue quand le taux augmente ; encadrez le taux et resserrez l’encadrement.

i = 12%: 4,564

i = 13%: 4,423

IRR = 12,84%

Réponse

IRR = 12,84%

5.Prix et rendement des obligations

Réponse: ΔP = −53,88 €

Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.

Prix à l’ancien rendement

C = €80,00, i = 0,05, N = 13

€80,00·(1 − 0,5303)/0,05 + €1 000·0,5303 = €751,49 + €530,32 = €1 281,81

Prix au nouveau rendement

C = €80,00, i = 0,055, N = 13

€80,00·(1 − 0,4986)/0,055 + €1 000·0,4986 = €729,37 + €498,56 = €1 227,93

Variation

ΔP = 1 227,93 − 1 281,81 = −€53,88

Réponse

ΔP = −€53,88

6.Prix et rendement des obligations

Réponse: YTM = 4,009 %

Équation du rendement

€925 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹

Résoudre numériquement

P(4%) = €925,65, P(5%) = €857,84

YTM = 4,009%

Réponse

YTM = 4,009%

7.CAPM et WACC

Réponse: r_m = 7 %

Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).

Prime de risque du marché

r_m − r_f = (6,4% − 1%)/0,9 = 6%

Rendement du marché

r_m = 1% + 6% = 7%

Réponse

r_m = 7%

8.CAPM et WACC

Réponse: r_e = 9,044 %

Bêta endetté (Hamada) : la dette rend les capitaux propres plus risqués. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), où β_U est le bêta de l’activité sans dette. Pour transposer un bêta à une autre structure du capital, désendettez-le d’abord, puis réendettez-le au nouveau D/E.

Bêta endetté

β_L = 0,9·(1 + 0,75·0,5) = 1,238

Coût des capitaux propres (CAPM)

r_e = 1% + 1,238·6,5% = 9,044%

Réponse

r_e = 9,044%

9.Seuil de rentabilité

Réponse: Q = 6500 unités

Coût-volume-profit : chaque unité vendue rapporte une marge sur coût variable, le prix moins le coût variable unitaire. Bénéfice = Q·(p − v) − F, où F est le coût fixe. Au seuil de rentabilité le bénéfice est nul, donc Q = F/(p − v).

Marge unitaire sur coût variable

p − v = 19 − 15 = €4

Unités pour le bénéfice visé

Q = (F + bénéfice)/(p − v) = (20 000 + 6 000)/4 = 6 500

Réponse

Q = 6 500 unités

10.Seuil de rentabilité

Réponse: %ΔΠ = 32 %

Levier opérationnel : les coûts fixes font réagir le bénéfice plus fortement que les ventes. Le degré de levier opérationnel DOL = marge sur coût variable/résultat d’exploitation indique qu’une variation de 1 % des ventes modifie le bénéfice de DOL %. Il est très élevé juste au-dessus du seuil de rentabilité et diminue quand les ventes augmentent.

Marge sur coût variable et bénéfice

CM = 8 000·15 = €120 000

Π = 120 000 − 75 000 = €45 000

DOL

DOL = 120 000/45 000 = 2,667

Variation du bénéfice

%ΔΠ = 2,667·(+12%) = +32%

Réponse

%ΔΠ = +32%

Vérification : nouveau bénéfice = 8 960·15 − 75 000 = €59 400,00.

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