Dans la fenêtre d’impression, choisissez « Enregistrer au format PDF » pour garder une copie sur votre appareil.
1Formules et méthodes
Valeur temps de l'argent
Valeur future
FV = PV·(1 + i)n
Valeur actuelle
PV = FV/(1 + i)n
Plusieurs périodes par an
i = r/m, N = m·n
Annuités, valeur actuelle
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Annuités, valeur future
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Méthode
Tracez un axe du temps avec chaque flux de trésorerie et sa date.
Faites correspondre le taux à la période : un taux mensuel pour des versements mensuels.
Utilisez FV = PV·(1 + i)ⁿ pour les montants uniques et les formules d’annuités pour les versements constants.
Vérifiez le signe et l’ordre de grandeur de la réponse.
VAN et TRI
Valeur actuelle nette
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flux égaux
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taux de rendement interne
le r pour lequel NPV = 0
Décision
accepter si NPV > 0 (ou IRR > rendement exigé)
Méthode
Listez tous les flux de trésorerie avec leur année ; l’investissement de l’année 0 est négatif.
Actualisez chaque flux : CFt/(1 + r)t.
Additionnez-les pour obtenir la VAN. Une valeur positive signifie que le projet rapporte plus que r.
Pour le TRI, trouvez le taux qui annule la VAN, par tâtonnement ou par interpolation.
Prix et rendement des obligations
Prix de l’obligation
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Coupons semestriels
C/2, y/2 et 2n périodes
Rendement courant
C/P
Prix et rendement
rendement en hausse → prix en baisse
Méthode
Trouvez le coupon par période et le rendement par période.
Prix = valeur actuelle des coupons (une annuité) + valeur actuelle de la valeur nominale.
Pour des coupons semestriels, prenez la moitié du coupon, la moitié du rendement et deux fois plus de périodes.
Vérification : si le rendement est supérieur au taux du coupon, le prix est inférieur à la valeur nominale.
CAPM et WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valeur de l’entreprise
V = E + D
Seuil de rentabilité
Marge sur coût variable
CM = p − v
Quantité au seuil de rentabilité
QBE = FC/(p − v)
Bénéfice visé
Q = (FC + profit)/(p − v)
Bénéfice
π = (p − v)·Q − FC
Marge de sécurité
(Q − QBE)/Q
2Exercices
1.Valeur temps de l'argentMoyen
Une carte de crédit applique un taux d’intérêt nominal de 20 % par an, capitalisé trimestriellement. Trouvez le taux annuel effectif EAR en pourcentage.
r = 20%m = 4
EAR = %
2.Valeur temps de l'argentDifficile
Vous voulez disposer de €75 000 dans 19 ans. Vous épargnez le même montant à la fin de chaque mois sur un compte rémunéré à 2,4 % par an, capitalisé mensuellement. Trouvez le versement mensuel A.
FV = €75 0002,4% / 12N = 228
A = €
3.VAN et TRIMoyen
Un investissement de €20 000 donne ces flux à la fin des années 1 à 3 : €6 000, €7 000, €4 000. Le coût du capital est de 10 %. Calcule la valeur actuelle nette NPV.
Un projet coûte €50 000 et rapporte €23 000, €27 000, €25 500 à la fin des années 1 à 3. Les flux peuvent être réinvestis au coût du capital de 6 %. Trouvez le taux de rendement interne modifié MIRR en pourcentage.
Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 2% et arrive à échéance dans 14 ans. Son taux de rendement actuariel passe de 6% à 4%. De combien ΔP le prix de l’obligation varie-t-il ?
F = €1 000coupon = 2%n = 14y1 = 6%y2 = 4%
ΔP = €
6.Prix et rendement des obligationsDifficile
Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 4,5% en deux versements semestriels et arrive à échéance dans 3 ans. Elle se vend €1 057. Trouvez son taux de rendement actuariel YTM sous forme de taux annuel (deux fois le rendement semestriel), en pourcentage.
F = €1 000coupon = 4,5% (2×)n = 3P = €1 057
YTM = %
7.CAPM et WACCMoyen
Une action de bêta 2 a un rendement exigé de 12%. Le taux sans risque est de 2%. Quel rendement attendu du marché rm le CAPM implique-t-il ?
β = 2re = 12%rf = 2%
rm = %
8.CAPM et WACCDifficile
Une entreprise a 2 500 000 actions à €51,50 chacune et 20 000 obligations cotées €1 050 chacune. Le coût de la dette avant impôt est de 5% et le taux d’imposition de 30%. Le bêta de l’action est de 1,2, le taux sans risque de 1% et la rentabilité du marché de 5%. Trouvez le WACC.
β = 1,2rf = 1%rm = 5%rd = 5%T = 30%
WACC = %
9.Seuil de rentabilitéMoyen
Un produit se vend €22 l'unité avec un coût variable de €12 par unité. Les coûts fixes sont de €15 000 par mois. Combien d'unités Q faut-il vendre par mois pour faire un bénéfice de €12 000 ?
F = €15 000p = €22v = €12bénéfice = €12 000
Q = unités
10.Seuil de rentabilitéDifficile
Une entreprise vend deux produits. Le produit A se vend €23 avec un coût variable de €15 ; le produit B se vend €27 avec un coût variable de €15. Ils se vendent dans une proportion fixe de 4 unités de A pour 1 de B. Les coûts fixes s’élèvent à €26 400 par mois. Trouvez le nombre total d’unités Q (A et B ensemble) nécessaire pour atteindre le seuil de rentabilité.
pA = €23, vA = €15pB = €27, vB = €15A : B = 4 : 1F = €26 400
Q = unités
3Solutions
1.Valeur temps de l'argent
Réponse: EAR = 21,55 %
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Taux par période
r/m = 0,2/4 = 0,05
Capitaliser sur un an
EAR = (1 + 0,05)4 − 1 = 1,216 − 1 = 21,55%
Réponse
EAR = 21,55%
Le taux annuel effectif est toujours supérieur au taux nominal quand les intérêts sont capitalisés plus d’une fois par an.
2.Valeur temps de l'argent
Réponse: A = 260 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Valeur actuelle de chaque flux
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,1)1 = 6 000/1,1 = 5 454,55
CF2/(1 + 0,1)2 = 7 000/1,21 = 5 785,12
CF3/(1 + 0,1)3 = 4 000/1,331 = 3 005,26
Additionner
NPV = €−5 755,07
Réponse
NPV = €−5 755,07
La VAN est négative : le projet rapporte moins que le rendement exigé.
4.VAN et TRI
Réponse: MIRR = 16,94 %
TRI modifié : capitalisez chaque encaissement jusqu’à la fin du projet au taux de réinvestissement (en général le coût du capital) pour obtenir la valeur terminale TV. Le TRIM est le taux qui transforme l’investissement initial en TV : MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.
Valeur terminale des encaissements
23 000·1,062 = 25 842,80
27 000·1,061 = 28 620,00
25 500·1,060 = 25 500,00
TV = 79 962,80
MIRR
MIRR = (79 962,80/50 000)1/3 − 1 = 16,94%
Réponse
MIRR = 16,94%
5.Prix et rendement des obligations
Réponse: ΔP = 160,5 €
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Par période
C = €22,50, N = 6
Résoudre numériquement
i = 1,258% par semestre
YTM
YTM = 2·1,258% = 2,515%
Réponse
YTM = 2,515%
7.CAPM et WACC
Réponse: rm = 7 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Prime de risque du marché
rm − rf = (12% − 2%)/2 = 5%
Rendement du marché
rm = 2% + 5% = 7%
Réponse
rm = 7%
8.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 5,477 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Valeurs de marché
E = 2 500 000·€51,50 = €128 750 000
D = 20 000·€1 050 = €21 000 000
Coût des capitaux propres (CAPM)
re = 1% + 1,2·4% = 5,8%
Pondérations
V = €149 750 000, E/V = 0,8598, D/V = 0,1402
WACC
WACC = 0,8598·5,8% + 0,1402·5%·(1 − 0,3) = 5,477%
Réponse
WACC = 5,477%
9.Seuil de rentabilité
Réponse: Q = 2700 unités
Coût-volume-profit : chaque unité vendue rapporte une marge sur coût variable, le prix moins le coût variable unitaire. Bénéfice = Q·(p − v) − F, où F est le coût fixe. Au seuil de rentabilité le bénéfice est nul, donc Q = F/(p − v).
Seuil de rentabilité avec une composition des ventes : quand les produits se vendent dans une proportion fixe, utilisez la marge sur coût variable moyenne pondérée : pondérez le p − v de chaque produit par sa part en unités. Unités au seuil de rentabilité = F/(marge pondérée), réparties à nouveau selon la proportion.