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1Formules et méthodes
Valeur temps de l'argent
Valeur future
FV = PV·(1 + i)n
Valeur actuelle
PV = FV/(1 + i)n
Plusieurs périodes par an
i = r/m, N = m·n
Annuités, valeur actuelle
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Annuités, valeur future
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Méthode
Tracez un axe du temps avec chaque flux de trésorerie et sa date.
Faites correspondre le taux à la période : un taux mensuel pour des versements mensuels.
Utilisez FV = PV·(1 + i)ⁿ pour les montants uniques et les formules d’annuités pour les versements constants.
Vérifiez le signe et l’ordre de grandeur de la réponse.
VAN et TRI
Valeur actuelle nette
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flux égaux
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taux de rendement interne
le r pour lequel NPV = 0
Décision
accepter si NPV > 0 (ou IRR > rendement exigé)
Méthode
Listez tous les flux de trésorerie avec leur année ; l’investissement de l’année 0 est négatif.
Actualisez chaque flux : CFt/(1 + r)t.
Additionnez-les pour obtenir la VAN. Une valeur positive signifie que le projet rapporte plus que r.
Pour le TRI, trouvez le taux qui annule la VAN, par tâtonnement ou par interpolation.
Prix et rendement des obligations
Prix de l’obligation
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Coupons semestriels
C/2, y/2 et 2n périodes
Rendement courant
C/P
Prix et rendement
rendement en hausse → prix en baisse
Méthode
Trouvez le coupon par période et le rendement par période.
Prix = valeur actuelle des coupons (une annuité) + valeur actuelle de la valeur nominale.
Pour des coupons semestriels, prenez la moitié du coupon, la moitié du rendement et deux fois plus de périodes.
Vérification : si le rendement est supérieur au taux du coupon, le prix est inférieur à la valeur nominale.
CAPM et WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valeur de l’entreprise
V = E + D
Seuil de rentabilité
Marge sur coût variable
CM = p − v
Quantité au seuil de rentabilité
QBE = FC/(p − v)
Bénéfice visé
Q = (FC + profit)/(p − v)
Bénéfice
π = (p − v)·Q − FC
Marge de sécurité
(Q − QBE)/Q
2Exercices
1.Valeur temps de l'argentMoyen
Tu as besoin de €15 000 dans 4 ans. Un compte rapporte 4 % par an, capitalisés trimestriellement. Combien dois-tu déposer aujourd'hui ? Calcule la valeur actuelle PV.
FV = €15 0004% / 4n = 4
PV = €
2.Valeur temps de l'argentDifficile
Tu épargnes €250 à la fin de chaque mois pendant 5 ans. Le compte rapporte 4,2 % par an, capitalisés mensuellement. Combien as-tu épargné à la fin ? Calcule FV.
A = €2504,2% / 12N = 60
FV = €
3.VAN et TRIMoyen
Une machine coûte €50 000 aujourd’hui, dure 6 ans et coûte €1 000 par an en fonctionnement (payés à la fin de chaque année). Le coût du capital est de 10 %. Trouvez son coût annuel équivalent EAC.
C0 = €50 000M = €1 000n = 6r = 10%
EAC = €
4.VAN et TRIDifficile
Un projet coûte €10 000 et rapporte €4 000, €7 000, €5 500 à la fin des années 1 à 3. Calcule son taux de rendement interne IRR en pourcentage.
CF0 = −10 000CF1 = 4 000CF2 = 7 000CF3 = 5 500
IRR = %
5.Prix et rendement des obligationsMoyen
Une obligation de valeur nominale €1 000 arrive à échéance dans 3 ans et verse des coupons annuels. Elle se vend €960 quand le taux de rendement actuariel est de 5,5%. Trouvez le taux du coupon c en pourcentage.
F = €1 000n = 3P = €960YTM = 5,5%
c = %
6.Prix et rendement des obligationsDifficile
Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 3% en deux versements semestriels et arrive à échéance dans 6 ans. Elle se vend €897. Trouvez son taux de rendement actuariel YTM sous forme de taux annuel (deux fois le rendement semestriel), en pourcentage.
F = €1 000coupon = 3% (2×)n = 6P = €897
YTM = %
7.CAPM et WACCMoyen
Une action de bêta 1,2 a un rendement exigé de 10,1%. Le taux sans risque est de 3,5%. Quel rendement attendu du marché rm le CAPM implique-t-il ?
β = 1,2re = 10,1%rf = 3,5%
rm = %
8.CAPM et WACCDifficile
L’activité d’une entreprise a un bêta désendetté (bêta de l’actif) de 0,7. Elle prévoit un ratio dette/capitaux propres de 0,75. Le taux d’imposition est de 25,8%, le taux sans risque de 2% et la prime de risque du marché de 7%. Trouvez le coût des capitaux propres re avec la nouvelle structure du capital.
βU = 0,7D/E = 0,75T = 25,8%rf = 2%rm − rf = 7%
re = %
9.Seuil de rentabilitéMoyen
Une entreprise vend 2 400 unités à €8 chacune. Le coût variable est de €6 par unité et les coûts fixes s’élèvent à €2 400. Trouvez le degré de levier opérationnel DOL à ce niveau de ventes.
Q = 2 400p = €8v = €6F = €2 400
DOL =
10.Seuil de rentabilitéDifficile
Une entreprise vend deux produits. Le produit A se vend €13 avec un coût variable de €10 ; le produit B se vend €40 avec un coût variable de €25. Ils se vendent dans une proportion fixe de 2 unités de A pour 1 de B. Les coûts fixes s’élèvent à €21 000 par mois. Trouvez le nombre total d’unités Q (A et B ensemble) nécessaire pour atteindre le seuil de rentabilité.
pA = €13, vA = €10pB = €40, vB = €25A : B = 2 : 1F = €21 000
Q = unités
3Solutions
1.Valeur temps de l'argent
Réponse: PV = 12792 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Taux et nombre de périodes
i = 0,04/4 = 0,01
N = 4·4 = 16
Valeur actuelle
PV = FV/(1 + i)N = 15 000/1,173 = €12 792,32
Réponse
PV = €12 792,32
2.Valeur temps de l'argent
Réponse: FV = 16659 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Tu as versé toi-même €15 000 ; le reste, ce sont des intérêts.
3.VAN et TRI
Réponse: EAC = 12480 €
Coût annuel équivalent : répartissez la valeur actuelle de tous les coûts sur la durée de vie sous forme d’un montant annuel constant (une annuité) : EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Cela permet de comparer des machines de durées de vie différentes.
Facteur d’annuité
(1 − 1,1−6)/0,1 = 4,355
Prix d’achat annualisé
50 000/4,355 = 11 480,37
EAC
EAC = 11 480,37 + 1 000 = €12 480,37
Réponse
EAC = €12 480,37
4.VAN et TRI
Réponse: IRR = 28,13 %
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Encadrer le TRI
La VAN baisse quand le taux augmente, donc le TRI se trouve entre un taux à VAN positive et un taux à VAN négative.
NPV(25%) = 496,00
NPV(30%) = −277,65
Resserrer
L'interpolation linéaire donne une première estimation ; la répéter (ou utiliser la fonction TRI d'une calculatrice) donne le taux exact.
IRR ≈ 25 + 5·496,00/(496,00 − (−277,65)) = 28,21%
exact: NPV(28,13%) = 0 → IRR = 28,13%
Réponse
IRR = 28,13%
5.Prix et rendement des obligations
Réponse: c = 4,017 %
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Valeur actuelle du nominal
1000·(1 + 0,055)−3 = €851,61
Coupon
C = (960 − 851,61)/2,698 = €40,17
Taux du coupon
c = 40,17/1000 = 4,017%
Réponse
c = 4,017%
6.Prix et rendement des obligations
Réponse: YTM = 5,009 %
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Par période
C = €15,00, N = 12
Résoudre numériquement
i = 2,504% par semestre
YTM
YTM = 2·2,504% = 5,009%
Réponse
YTM = 5,009%
7.CAPM et WACC
Réponse: rm = 9 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Prime de risque du marché
rm − rf = (10,1% − 3,5%)/1,2 = 5,5%
Rendement du marché
rm = 3,5% + 5,5% = 9%
Réponse
rm = 9%
8.CAPM et WACC
Réponse: re = 9,627 %
Bêta endetté (Hamada) : la dette rend les capitaux propres plus risqués. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), où βU est le bêta de l’activité sans dette. Pour transposer un bêta à une autre structure du capital, désendettez-le d’abord, puis réendettez-le au nouveau D/E.
Bêta endetté
βL = 0,7·(1 + 0,742·0,75) = 1,09
Coût des capitaux propres (CAPM)
re = 2% + 1,09·7% = 9,627%
Réponse
re = 9,627%
9.Seuil de rentabilité
Réponse: DOL = 2
Levier opérationnel : les coûts fixes font réagir le bénéfice plus fortement que les ventes. Le degré de levier opérationnel DOL = marge sur coût variable/résultat d’exploitation indique qu’une variation de 1 % des ventes modifie le bénéfice de DOL %. Il est très élevé juste au-dessus du seuil de rentabilité et diminue quand les ventes augmentent.
Marge sur coût variable totale
CM = 2 400·(8 − 6) = €4 800
Résultat d’exploitation
Π = 4 800 − 2 400 = €2 400
DOL
DOL = 4 800/2 400 = 2
Réponse
DOL = 2
10.Seuil de rentabilité
Réponse: Q = 3000 unités
Seuil de rentabilité avec une composition des ventes : quand les produits se vendent dans une proportion fixe, utilisez la marge sur coût variable moyenne pondérée : pondérez le p − v de chaque produit par sa part en unités. Unités au seuil de rentabilité = F/(marge pondérée), réparties à nouveau selon la proportion.