Finance d’entreprise : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 10 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Valeur temps de l'argent

Valeur future: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valeur actuelle: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Plusieurs périodes par an: i = r/m, N = m·n
Annuités, valeur actuelle: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Annuités, valeur future: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Méthode

Tracez un axe du temps avec chaque flux de trésorerie et sa date.
Faites correspondre le taux à la période : un taux mensuel pour des versements mensuels.
Utilisez FV = PV·(1 + i)ⁿ pour les montants uniques et les formules d’annuités pour les versements constants.
Vérifiez le signe et l’ordre de grandeur de la réponse.

VAN et TRI

Valeur actuelle nette: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Flux égaux: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Taux de rendement interne: le r pour lequel NPV = 0
Décision: accepter si NPV > 0 (ou IRR > rendement exigé)

Méthode

Listez tous les flux de trésorerie avec leur année ; l’investissement de l’année 0 est négatif.
Actualisez chaque flux : CF_t/(1 + r)^t.
Additionnez-les pour obtenir la VAN. Une valeur positive signifie que le projet rapporte plus que r.
Pour le TRI, trouvez le taux qui annule la VAN, par tâtonnement ou par interpolation.

Prix et rendement des obligations

Prix de l’obligation: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Coupons semestriels: C/2, y/2 et 2n périodes
Rendement courant: C/P
Prix et rendement: rendement en hausse → prix en baisse

Méthode

Trouvez le coupon par période et le rendement par période.
Prix = valeur actuelle des coupons (une annuité) + valeur actuelle de la valeur nominale.
Pour des coupons semestriels, prenez la moitié du coupon, la moitié du rendement et deux fois plus de périodes.
Vérification : si le rendement est supérieur au taux du coupon, le prix est inférieur à la valeur nominale.

CAPM et WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valeur de l’entreprise: V = E + D

Seuil de rentabilité

Marge sur coût variable: CM = p − v
Quantité au seuil de rentabilité: Q_BE = FC/(p − v)
Bénéfice visé: Q = (FC + profit)/(p − v)
Bénéfice: π = (p − v)·Q − FC
Marge de sécurité: (Q − Q_BE)/Q

2Exercices

1.Valeur temps de l'argentMoyen

Un bien immobilier devrait rapporter un loyer net de €2 000 l’année prochaine. Le loyer devrait croître de 1,5 % par an indéfiniment. Le rendement exigé est de 4,5 % par an. Trouvez la valeur PV du bien aujourd’hui.

C₁ = €2 000g = 1,5%r = 4,5%

PV = €

2.Valeur temps de l'argentDifficile

Vous versez €2 000 au début de chaque année pendant 11 ans, le premier versement ayant lieu aujourd’hui. Le compte rapporte 5 % par an. Combien y a-t-il sur le compte à la fin de l’année 11 ? Trouvez FV.

A = €2 000i = 5%n = 11

FV = €

3.VAN et TRIMoyen

Un investissement de €20 000 donne ces flux à la fin des années 1 à 4 : €9 000, €9 000, €9 000, €5 000. Le coût du capital est de 6 %. Calcule la valeur actuelle nette NPV.

r = 6%CF₀ = −20 000CF₁ = 9 000CF₂ = 9 000CF₃ = 9 000CF₄ = 5 000

NPV = €

4.VAN et TRIDifficile

Le projet A coûte €40 000 et rapporte €22 500, €16 000, €9 500 à la fin des années 1 à 3. Le projet B coûte €50 000 et rapporte €13 000, €23 000, €26 000. Trouvez le taux d’indifférence r* pour lequel les deux projets ont la même VAN, en pourcentage.

A: −40 000, 22 500, 16 000, 9 500B: −50 000, 13 000, 23 000, 26 000

r* = %

5.Prix et rendement des obligationsMoyen

Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 4,5% en deux versements semestriels et arrive à échéance dans 9 ans. Le taux de rendement actuariel est de 9% par an. Trouvez le prix P de l’obligation.

F = €1 000coupon = 4,5%YTM = 9%n = 9

P = €

6.Prix et rendement des obligationsDifficile

Une obligation de valeur nominale €1 000 avec un coupon annuel de 5% arrive à échéance dans 4 ans et se vend €930. Trouvez son taux de rendement actuariel YTM en pourcentage.

F = €1 000coupon = 5%n = 4P = €930

YTM = %

7.CAPM et WACCMoyen

Une entreprise a des capitaux propres de €12 000 000 et une dette de €1 000 000. Son coût des capitaux propres est de 11%, son coût de la dette avant impôt de 6% et le taux d’imposition de 21%. Trouvez le WACC.

E = €12 000 000D = €1 000 000r_e = 11%r_d = 6%T = 21%

WACC = %

8.CAPM et WACCDifficile

Les actions d’une entreprise ont un bêta de 1 pour son ratio dette/capitaux propres actuel de 0,25. Elle prévoit de porter ce ratio à 1,25. Le taux d’imposition est de 21%, le taux sans risque de 3,5% et la prime de risque du marché de 7%. Trouvez le coût des capitaux propres r_e après ce changement.

β_L = 1D/E₁ = 0,25D/E₂ = 1,25T = 21%r_f = 3,5%r_m − r_f = 7%

r_e = %

9.Seuil de rentabilitéMoyen

Un produit se vend €60 avec un coût variable de €45 par unité. Les coûts fixes s’élèvent à €75 000 par mois et le bénéfice est imposé à 20 %. Combien d’unités Q faut-il vendre par mois pour gagner €15 000 après impôt ?

p = €60v = €45F = €75 000T = 20%bénéfice après impôt = €15 000

Q = unités

10.Seuil de rentabilitéDifficile

Un produit se vend €23 l'unité, avec un coût variable de €15 par unité et des coûts fixes de €6 400 par an. Les ventes prévues sont de 1 120 unités. Calcule la marge de sécurité MS en pourcentage des ventes prévues.

F = €6 400p = €23v = €15prévision = 1 120

MS = %

3Solutions

1.Valeur temps de l'argent

Réponse: PV = 66667 €

Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)ⁿ. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.

Rente perpétuelle croissante

PV = C₁/(r − g) = 2 000/(0,045 − 0,015) = 2 000/0,03 = €66 666,67

Réponse

PV = €66 666,67

2.Valeur temps de l'argent

Réponse: FV = 29834 €

Facteur d’annuité ordinaire

((1 + 0,05)¹¹ − 1)/0,05 = 14,21

Annuité de début de période

Chaque versement est placé un an de plus.

FV = 2 000·14,21·1,05 = €29 834,25

Réponse

FV = €29 834,25

3.VAN et TRI

Réponse: NPV = 8018 €

Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.

Valeur actuelle de chaque flux

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0,06)¹ = 9 000/1,06 = 8 490,57

CF₂/(1 + 0,06)² = 9 000/1,124 = 8 009,97

CF₃/(1 + 0,06)³ = 9 000/1,191 = 7 556,57

CF₄/(1 + 0,06)⁴ = 5 000/1,262 = 3 960,47

Additionner

NPV = €8 017,58

Réponse

NPV = €8 017,58

La VAN est positive : le projet rapporte plus que le rendement exigé.

4.VAN et TRI

Réponse: r* = 8,782 %

Taux d’indifférence : le taux d’actualisation pour lequel deux projets ont la même VAN. C’est le TRI de la différence de leurs flux (B − A). En dessous, le projet aux flux plus tardifs et plus importants a la VAN la plus élevée ; au-dessus, c’est l’autre qui l’emporte.

Différence des flux

ΔCF₀ = −50 000 − (−40 000) = −10 000

ΔCF₁ = 13 000 − 22 500 = −9 500

ΔCF₂ = 23 000 − 16 000 = 7 000

ΔCF₃ = 26 000 − 9 500 = 16 500

TRI de la différence

NPV_Δ(8%) = 303,31

NPV_Δ(9%) = −82,81

r* = 8,782%

Réponse

r* = 8,782%

Vérification : à 8,782%, les deux VAN valent €1 584,22.

5.Prix et rendement des obligations

Réponse: P = 726,4 €

Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.

Par période

C = €22,50, i = 0,045, N = 18

Valeur actuelle des coupons

€22,50·(1 − 0,4528)/0,045 = €273,60

Valeur actuelle du nominal

€1 000·0,4528 = €452,80

Prix

P = €726,40

Réponse

P = €726,40

Le rendement est supérieur au taux du coupon, donc l’obligation se vend avec une décote (sous le pair).

6.Prix et rendement des obligations

Réponse: YTM = 7,07 %

Équation du rendement

€930 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴

Résoudre numériquement

P(7%) = €932,26, P(8%) = €900,64

YTM = 7,07%

Réponse

YTM = 7,07%

7.CAPM et WACC

Réponse: WACC = 10,52 %

Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).

Pondérations

V = €13 000 000, E/V = 0,9231, D/V = 0,07692

WACC

WACC = 0,9231·11% + 0,07692·6%·(1 − 0,21) = 10,52%

Réponse

WACC = 10,52%

8.CAPM et WACC

Réponse: r_e = 15,12 %

Bêta endetté (Hamada) : la dette rend les capitaux propres plus risqués. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), où β_U est le bêta de l’activité sans dette. Pour transposer un bêta à une autre structure du capital, désendettez-le d’abord, puis réendettez-le au nouveau D/E.

Désendetter le bêta

β_U = 1/(1 + 0,79·0,25) = 0,8351

Réendetter au nouveau D/E

β_L = 0,8351·(1 + 0,79·1,25) = 1,66

Coût des capitaux propres (CAPM)

r_e = 3,5% + 1,66·7% = 15,12%

Réponse

r_e = 15,12%

9.Seuil de rentabilité

Réponse: Q = 6250 unités

Coût-volume-profit : chaque unité vendue rapporte une marge sur coût variable, le prix moins le coût variable unitaire. Bénéfice = Q·(p − v) − F, où F est le coût fixe. Au seuil de rentabilité le bénéfice est nul, donc Q = F/(p − v).

Bénéfice avant impôt nécessaire

15 000/(1 − 0,2) = €18 750

Unités nécessaires

Q = (75 000 + 18 750)/15 = 6 250

Réponse

Q = 6 250 unités

10.Seuil de rentabilité

Réponse: MS = 28,57 %

Quantité au seuil de rentabilité

Q = F/(p − v) = 6 400/8 = 800

Marge de sécurité

MS = (1 120 − 800)/1 120·100 = 28,57%

Réponse

MS = 28,57%

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