Finance d’entreprise : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 10 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Valeur temps de l'argent

Valeur future: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valeur actuelle: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Plusieurs périodes par an: i = r/m, N = m·n
Annuités, valeur actuelle: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Annuités, valeur future: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Méthode

Tracez un axe du temps avec chaque flux de trésorerie et sa date.
Faites correspondre le taux à la période : un taux mensuel pour des versements mensuels.
Utilisez FV = PV·(1 + i)ⁿ pour les montants uniques et les formules d’annuités pour les versements constants.
Vérifiez le signe et l’ordre de grandeur de la réponse.

VAN et TRI

Valeur actuelle nette: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Flux égaux: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Taux de rendement interne: le r pour lequel NPV = 0
Décision: accepter si NPV > 0 (ou IRR > rendement exigé)

Méthode

Listez tous les flux de trésorerie avec leur année ; l’investissement de l’année 0 est négatif.
Actualisez chaque flux : CF_t/(1 + r)^t.
Additionnez-les pour obtenir la VAN. Une valeur positive signifie que le projet rapporte plus que r.
Pour le TRI, trouvez le taux qui annule la VAN, par tâtonnement ou par interpolation.

Prix et rendement des obligations

Prix de l’obligation: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Coupons semestriels: C/2, y/2 et 2n périodes
Rendement courant: C/P
Prix et rendement: rendement en hausse → prix en baisse

Méthode

Trouvez le coupon par période et le rendement par période.
Prix = valeur actuelle des coupons (une annuité) + valeur actuelle de la valeur nominale.
Pour des coupons semestriels, prenez la moitié du coupon, la moitié du rendement et deux fois plus de périodes.
Vérification : si le rendement est supérieur au taux du coupon, le prix est inférieur à la valeur nominale.

CAPM et WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valeur de l’entreprise: V = E + D

Seuil de rentabilité

Marge sur coût variable: CM = p − v
Quantité au seuil de rentabilité: Q_BE = FC/(p − v)
Bénéfice visé: Q = (FC + profit)/(p − v)
Bénéfice: π = (p − v)·Q − FC
Marge de sécurité: (Q − Q_BE)/Q

2Exercices

1.Valeur temps de l'argentMoyen

Une carte de crédit applique un taux d’intérêt nominal de 21 % par an, capitalisé semestriellement. Trouvez le taux annuel effectif EAR en pourcentage.

r = 21%m = 2

EAR = %

2.Valeur temps de l'argentDifficile

Un prêt de €200 000 est remboursé par mensualités constantes sur 15 ans à 5,4 % par an, capitalisé mensuellement. Quel montant total d’intérêts I est payé sur toute la durée du prêt ?

P = €200 0005,4% / 12N = 180

I = €

3.VAN et TRIMoyen

Un projet coûte €20 000 aujourd’hui et rapporte €8 000, €5 000, €4 000, €7 000, €8 000 à la fin des années 1 à 5. Le coût du capital est de 5 %. Supposez que les flux arrivent régulièrement au cours de chaque année. Trouvez le délai de récupération actualisé DPB en années.

r = 5%CF₀ = −20 000CF₁ = 8 000CF₂ = 5 000CF₃ = 4 000CF₄ = 7 000CF₅ = 8 000

DPB = ans

4.VAN et TRIDifficile

Un projet coûte €50 000 et rapporte €26 500, €24 000, €35 500 à la fin des années 1 à 3. Calcule son taux de rendement interne IRR en pourcentage.

CF₀ = −50 000CF₁ = 26 500CF₂ = 24 000CF₃ = 35 500

IRR = %

5.Prix et rendement des obligationsMoyen

Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 6% en deux versements semestriels et arrive à échéance dans 8 ans. Le taux de rendement actuariel est de 3,5% par an. Trouvez le prix P de l’obligation.

F = €1 000coupon = 6%YTM = 3,5%n = 8

P = €

6.Prix et rendement des obligationsDifficile

Une obligation de valeur nominale €1 000 avec un coupon annuel de 6% arrive à échéance dans 10 ans et se vend €930. Trouvez son taux de rendement actuariel YTM en pourcentage.

F = €1 000coupon = 6%n = 10P = €930

YTM = %

7.CAPM et WACCMoyen

Une entreprise a des capitaux propres de €3 000 000 et une dette de €6 000 000. Son coût des capitaux propres est de 10%, son coût de la dette avant impôt de 4% et le taux d’imposition de 28%. Trouvez le WACC.

E = €3 000 000D = €6 000 000r_e = 10%r_d = 4%T = 28%

WACC = %

8.CAPM et WACCDifficile

Une entreprise a 4 000 000 actions à €8,00 chacune et 5 000 obligations cotées €1 000 chacune. Le coût de la dette avant impôt est de 3,5% et le taux d’imposition de 21%. Le bêta de l’action est de 1,3, le taux sans risque de 2% et la rentabilité du marché de 8,5%. Trouvez le WACC.

β = 1,3r_f = 2%r_m = 8,5%r_d = 3,5%T = 21%

WACC = %

9.Seuil de rentabilitéMoyen

Un produit se vend €40 avec un coût variable de €30 par unité. Les coûts fixes s’élèvent à €12 000 par mois et le bénéfice est imposé à 25 %. Combien d’unités Q faut-il vendre par mois pour gagner €6 000 après impôt ?

p = €40v = €30F = €12 000T = 25%bénéfice après impôt = €6 000

Q = unités

10.Seuil de rentabilitéDifficile

Un produit se vend €8 l'unité, avec un coût variable de €6 par unité et des coûts fixes de €10 000 par an. Les ventes prévues sont de 7 000 unités. Calcule la marge de sécurité MS en pourcentage des ventes prévues.

F = €10 000p = €8v = €6prévision = 7 000

MS = %

3Solutions

1.Valeur temps de l'argent

Réponse: EAR = 22,1 %

Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)ⁿ. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.

Taux par période

r/m = 0,21/2 = 0,105

Capitaliser sur un an

EAR = (1 + 0,105)² − 1 = 1,221 − 1 = 22,1%

Réponse

EAR = 22,1%

Le taux annuel effectif est toujours supérieur au taux nominal quand les intérêts sont capitalisés plus d’une fois par an.

2.Valeur temps de l'argent

Réponse: I = 92243 €

Mensualité

i = 0,0045, N = 180

A = 200 000·0,0045/(1 − (1 + 0,0045)⁻¹⁸⁰) = €1 623,57

Total des intérêts

I = N·A − P = 180·1624 − 200 000 = €92 243,18

Réponse

I = €92 243,18

3.VAN et TRI

Réponse: DPB = 3,762 ans

Délai de récupération : le temps nécessaire pour que les flux de trésorerie cumulés remboursent l’investissement initial. On suppose que la trésorerie arrive régulièrement au cours de chaque année, donc la dernière partie est une fraction d’année. Le délai de récupération simple ignore la valeur temps de l’argent ; le délai de récupération actualisé utilise à la place les flux actualisés.

Flux actualisés et cumulés

année 1: 8 000/1,05 = 7 619,05 → Σ = 7 619,05

année 2: 5 000/1,103 = 4 535,15 → Σ = 12 154,20

année 3: 4 000/1,158 = 3 455,35 → Σ = 15 609,55

année 4: 7 000/1,216 = 5 758,92 → Σ = 21 368,46

Fraction de la dernière année

DPB = 3 + 4 390,45/5 758,92 = 3,762

Réponse

DPB = 3,762 ans

Le délai de récupération actualisé est toujours plus long que le délai de récupération simple (3,429 ans).

4.VAN et TRI

Réponse: IRR = 31,01 %

Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.

Encadrer le TRI

La VAN baisse quand le taux augmente, donc le TRI se trouve entre un taux à VAN positive et un taux à VAN négative.

NPV(30%) = 744,20

NPV(35%) = −2 772,95

Resserrer

L'interpolation linéaire donne une première estimation ; la répéter (ou utiliser la fonction TRI d'une calculatrice) donne le taux exact.

IRR ≈ 30 + 5·744,20/(744,20 − (−2 772,95)) = 31,06%

exact: NPV(31,01%) = 0 → IRR = 31,01%

Réponse

IRR = 31,01%

5.Prix et rendement des obligations

Réponse: P = 1173 €

Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.

Par période

C = €30,00, i = 0,0175, N = 16

Valeur actuelle des coupons

€30,00·(1 − 0,7576)/0,0175 = €415,51

Valeur actuelle du nominal

€1 000·0,7576 = €757,62

Prix

P = €1 173,13

Réponse

P = €1 173,13

Le rendement est inférieur au taux du coupon, donc l’obligation se vend avec une prime (au-dessus du pair).

6.Prix et rendement des obligations

Réponse: YTM = 6,996 %

Équation du rendement

€930 = €60·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰

Résoudre numériquement

P(6%) = €1 000,00, P(7%) = €929,76

YTM = 6,996%

Réponse

YTM = 6,996%

7.CAPM et WACC

Réponse: WACC = 5,253 %

Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).

Pondérations

V = €9 000 000, E/V = 0,3333, D/V = 0,6667

WACC

WACC = 0,3333·10% + 0,6667·4%·(1 − 0,28) = 5,253%

Réponse

WACC = 5,253%

8.CAPM et WACC

Réponse: WACC = 9,411 %

Valeurs de marché

E = 4 000 000·€8,00 = €32 000 000

D = 5 000·€1 000 = €5 000 000

Coût des capitaux propres (CAPM)

r_e = 2% + 1,3·6,5% = 10,45%

Pondérations

V = €37 000 000, E/V = 0,8649, D/V = 0,1351

WACC

WACC = 0,8649·10,45% + 0,1351·3,5%·(1 − 0,21) = 9,411%

Réponse

WACC = 9,411%

9.Seuil de rentabilité

Réponse: Q = 2000 unités

Coût-volume-profit : chaque unité vendue rapporte une marge sur coût variable, le prix moins le coût variable unitaire. Bénéfice = Q·(p − v) − F, où F est le coût fixe. Au seuil de rentabilité le bénéfice est nul, donc Q = F/(p − v).

Bénéfice avant impôt nécessaire

6 000/(1 − 0,25) = €8 000

Unités nécessaires

Q = (12 000 + 8 000)/10 = 2 000

Réponse

Q = 2 000 unités

10.Seuil de rentabilité

Réponse: MS = 28,57 %

Quantité au seuil de rentabilité

Q = F/(p − v) = 10 000/2 = 5 000

Marge de sécurité

MS = (7 000 − 5 000)/7 000·100 = 28,57%

Réponse

MS = 28,57%

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