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1Formules et méthodes
Valeur temps de l'argent
Valeur future
FV = PV·(1 + i)n
Valeur actuelle
PV = FV/(1 + i)n
Plusieurs périodes par an
i = r/m, N = m·n
Annuités, valeur actuelle
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Annuités, valeur future
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Méthode
Tracez un axe du temps avec chaque flux de trésorerie et sa date.
Faites correspondre le taux à la période : un taux mensuel pour des versements mensuels.
Utilisez FV = PV·(1 + i)ⁿ pour les montants uniques et les formules d’annuités pour les versements constants.
Vérifiez le signe et l’ordre de grandeur de la réponse.
VAN et TRI
Valeur actuelle nette
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flux égaux
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taux de rendement interne
le r pour lequel NPV = 0
Décision
accepter si NPV > 0 (ou IRR > rendement exigé)
Méthode
Listez tous les flux de trésorerie avec leur année ; l’investissement de l’année 0 est négatif.
Actualisez chaque flux : CFt/(1 + r)t.
Additionnez-les pour obtenir la VAN. Une valeur positive signifie que le projet rapporte plus que r.
Pour le TRI, trouvez le taux qui annule la VAN, par tâtonnement ou par interpolation.
Prix et rendement des obligations
Prix de l’obligation
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Coupons semestriels
C/2, y/2 et 2n périodes
Rendement courant
C/P
Prix et rendement
rendement en hausse → prix en baisse
Méthode
Trouvez le coupon par période et le rendement par période.
Prix = valeur actuelle des coupons (une annuité) + valeur actuelle de la valeur nominale.
Pour des coupons semestriels, prenez la moitié du coupon, la moitié du rendement et deux fois plus de périodes.
Vérification : si le rendement est supérieur au taux du coupon, le prix est inférieur à la valeur nominale.
CAPM et WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valeur de l’entreprise
V = E + D
Seuil de rentabilité
Marge sur coût variable
CM = p − v
Quantité au seuil de rentabilité
QBE = FC/(p − v)
Bénéfice visé
Q = (FC + profit)/(p − v)
Bénéfice
π = (p − v)·Q − FC
Marge de sécurité
(Q − QBE)/Q
2Exercices
1.Valeur temps de l'argentMoyen
Vous placez €10 000 à 7 % par an avec capitalisation continue. Trouvez la valeur FV au bout de 3 ans.
PV = €10 000r = 7%t = 3
FV = €
2.Valeur temps de l'argentDifficile
Vous empruntez €8 000 à 3 % par an, capitalisé mensuellement, et remboursez €250 à la fin de chaque mois. Combien de mois faut-il pour rembourser le prêt (le dernier versement peut être plus petit) ? Donnez le nombre de versements N.
P = €8 000A = €2503% / 12
N = versements
3.VAN et TRIMoyen
Une machine coûte €30 000 aujourd’hui, dure 5 ans et coûte €1 500 par an en fonctionnement (payés à la fin de chaque année). Le coût du capital est de 6 %. Trouvez son coût annuel équivalent EAC.
C0 = €30 000M = €1 500n = 5r = 6%
EAC = €
4.VAN et TRIDifficile
Un projet coûte €25 000 et rapporte €17 000, €15 500, €9 500 à la fin des années 1 à 3. Calcule son taux de rendement interne IRR en pourcentage.
CF0 = −25 000CF1 = 17 000CF2 = 15 500CF3 = 9 500
IRR = %
5.Prix et rendement des obligationsMoyen
Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 8% en deux versements semestriels et arrive à échéance dans 3 ans. Le taux de rendement actuariel est de 4% par an. Trouvez le prix P de l’obligation.
F = €1 000coupon = 8%YTM = 4%n = 3
P = €
6.Prix et rendement des obligationsDifficile
Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 6% en deux versements semestriels et arrive à échéance dans 3 ans. Elle se vend €1 014. Trouvez son taux de rendement actuariel YTM sous forme de taux annuel (deux fois le rendement semestriel), en pourcentage.
F = €1 000coupon = 6% (2×)n = 3P = €1 014
YTM = %
7.CAPM et WACCMoyen
Une action de bêta 1,2 a un rendement exigé de 10,9%. Le taux sans risque est de 2,5%. Quel rendement attendu du marché rm le CAPM implique-t-il ?
β = 1,2re = 10,9%rf = 2,5%
rm = %
8.CAPM et WACCDifficile
L’activité d’une entreprise a un bêta désendetté (bêta de l’actif) de 0,9. Elle prévoit un ratio dette/capitaux propres de 0,75. Le taux d’imposition est de 28%, le taux sans risque de 2,5% et la prime de risque du marché de 6,5%. Trouvez le coût des capitaux propres re avec la nouvelle structure du capital.
βU = 0,9D/E = 0,75T = 28%rf = 2,5%rm − rf = 6,5%
re = %
9.Seuil de rentabilitéMoyen
Un produit peut être fabriqué de deux façons. La méthode A a des coûts fixes de €10 000 par an et un coût variable de €20 par unité. La méthode B, plus automatisée, a des coûts fixes de €11 500 par an et un coût variable de €17 par unité. À quel volume annuel Q les deux méthodes coûtent-elles autant ?
FA = €10 000vA = €20FB = €11 500vB = €17
Q = unités
10.Seuil de rentabilitéDifficile
Un produit se vend €14 l'unité, avec un coût variable de €8 par unité et des coûts fixes de €6 000 par an. Les ventes prévues sont de 1 300 unités. Calcule la marge de sécurité MS en pourcentage des ventes prévues.
F = €6 000p = €14v = €8prévision = 1 300
MS = %
3Solutions
1.Valeur temps de l'argent
Réponse: FV = 12337 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Exposant
r·t = 0,07·3 = 0,21
e0,21 = 1,234
Valeur future
FV = 10 000·1,234 = €12 336,78
Réponse
FV = €12 336,78
2.Valeur temps de l'argent
Réponse: N = 34 versements
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Réarranger la formule d’annuité
i = 0,0025
(1 + i)−N = 1 − 8 000·0,0025/250 = 0,92
Résoudre avec les logarithmes
N = −ln(0,92)/ln(1,002) = 33,39
Arrondir au nombre entier de versements supérieur
33 versements complets laissent un petit solde, que le dernier versement, plus petit, solde.
N = 34
Réponse
N = 34 versements
3.VAN et TRI
Réponse: EAC = 8622 €
Coût annuel équivalent : répartissez la valeur actuelle de tous les coûts sur la durée de vie sous forme d’un montant annuel constant (une annuité) : EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Cela permet de comparer des machines de durées de vie différentes.
Facteur d’annuité
(1 − 1,06−5)/0,06 = 4,212
Prix d’achat annualisé
30 000/4,212 = 7 121,89
EAC
EAC = 7 121,89 + 1 500 = €8 621,89
Réponse
EAC = €8 621,89
4.VAN et TRI
Réponse: IRR = 34,86 %
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Encadrer le TRI
La VAN baisse quand le taux augmente, donc le TRI se trouve entre un taux à VAN positive et un taux à VAN négative.
NPV(30%) = 1 572,60
NPV(35%) = −41,41
Resserrer
L'interpolation linéaire donne une première estimation ; la répéter (ou utiliser la fonction TRI d'une calculatrice) donne le taux exact.
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Par période
C = €40,00, i = 0,02, N = 6
Valeur actuelle des coupons
€40,00·(1 − 0,888)/0,02 = €224,06
Valeur actuelle du nominal
€1 000·0,888 = €887,97
Prix
P = €1 112,03
Réponse
P = €1 112,03
Le rendement est inférieur au taux du coupon, donc l’obligation se vend avec une prime (au-dessus du pair).
6.Prix et rendement des obligations
Réponse: YTM = 5,488 %
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Par période
C = €30,00, N = 6
Résoudre numériquement
i = 2,744% par semestre
YTM
YTM = 2·2,744% = 5,488%
Réponse
YTM = 5,488%
7.CAPM et WACC
Réponse: rm = 9,5 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Prime de risque du marché
rm − rf = (10,9% − 2,5%)/1,2 = 7%
Rendement du marché
rm = 2,5% + 7% = 9,5%
Réponse
rm = 9,5%
8.CAPM et WACC
Réponse: re = 11,51 %
Bêta endetté (Hamada) : la dette rend les capitaux propres plus risqués. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), où βU est le bêta de l’activité sans dette. Pour transposer un bêta à une autre structure du capital, désendettez-le d’abord, puis réendettez-le au nouveau D/E.
Bêta endetté
βL = 0,9·(1 + 0,72·0,75) = 1,386
Coût des capitaux propres (CAPM)
re = 2,5% + 1,386·6,5% = 11,51%
Réponse
re = 11,51%
9.Seuil de rentabilité
Réponse: Q = 500 unités
Coût-volume-profit : chaque unité vendue rapporte une marge sur coût variable, le prix moins le coût variable unitaire. Bénéfice = Q·(p − v) − F, où F est le coût fixe. Au seuil de rentabilité le bénéfice est nul, donc Q = F/(p − v).
Coûts totaux égaux
10 000 + 20Q = 11 500 + 17Q
Isoler Q
Q = (11 500 − 10 000)/(20 − 17) = 500
Réponse
Q = 500 unités
En dessous de ce volume, la méthode A est moins chère ; au-dessus, c’est la méthode automatisée B.
10.Seuil de rentabilité
Réponse: MS = 23,08 %
Coût-volume-profit : chaque unité vendue rapporte une marge sur coût variable, le prix moins le coût variable unitaire. Bénéfice = Q·(p − v) − F, où F est le coût fixe. Au seuil de rentabilité le bénéfice est nul, donc Q = F/(p − v).