Finance d’entreprise : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 10 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Valeur temps de l'argent

Valeur future: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valeur actuelle: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Plusieurs périodes par an: i = r/m, N = m·n
Annuités, valeur actuelle: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Annuités, valeur future: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Méthode

Tracez un axe du temps avec chaque flux de trésorerie et sa date.
Faites correspondre le taux à la période : un taux mensuel pour des versements mensuels.
Utilisez FV = PV·(1 + i)ⁿ pour les montants uniques et les formules d’annuités pour les versements constants.
Vérifiez le signe et l’ordre de grandeur de la réponse.

VAN et TRI

Valeur actuelle nette: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Flux égaux: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Taux de rendement interne: le r pour lequel NPV = 0
Décision: accepter si NPV > 0 (ou IRR > rendement exigé)

Méthode

Listez tous les flux de trésorerie avec leur année ; l’investissement de l’année 0 est négatif.
Actualisez chaque flux : CF_t/(1 + r)^t.
Additionnez-les pour obtenir la VAN. Une valeur positive signifie que le projet rapporte plus que r.
Pour le TRI, trouvez le taux qui annule la VAN, par tâtonnement ou par interpolation.

Prix et rendement des obligations

Prix de l’obligation: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Coupons semestriels: C/2, y/2 et 2n périodes
Rendement courant: C/P
Prix et rendement: rendement en hausse → prix en baisse

Méthode

Trouvez le coupon par période et le rendement par période.
Prix = valeur actuelle des coupons (une annuité) + valeur actuelle de la valeur nominale.
Pour des coupons semestriels, prenez la moitié du coupon, la moitié du rendement et deux fois plus de périodes.
Vérification : si le rendement est supérieur au taux du coupon, le prix est inférieur à la valeur nominale.

CAPM et WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valeur de l’entreprise: V = E + D

Seuil de rentabilité

Marge sur coût variable: CM = p − v
Quantité au seuil de rentabilité: Q_BE = FC/(p − v)
Bénéfice visé: Q = (FC + profit)/(p − v)
Bénéfice: π = (p − v)·Q − FC
Marge de sécurité: (Q − Q_BE)/Q

2Exercices

1.Valeur temps de l'argentMoyen

Tu places €20 000 à un taux nominal de 3,6 % par an, capitalisés mensuellement. Calcule la valeur FV du placement après 10 ans.

PV = €20 0003,6% / 12n = 10

FV = €

2.Valeur temps de l'argentDifficile

Vous empruntez €10 000 à 4,2 % par an, capitalisé mensuellement, et remboursez €175 à la fin de chaque mois. Combien de mois faut-il pour rembourser le prêt (le dernier versement peut être plus petit) ? Donnez le nombre de versements N.

P = €10 000A = €1754,2% / 12

N = versements

3.VAN et TRIMoyen

Une machine coûte €60 000 aujourd’hui. Elle génère €13 500 à la fin de chaque année pendant 6 ans et peut ensuite être revendue €12 000. Le coût du capital est de 12 %. Trouvez la valeur actuelle nette NPV.

C₀ = €60 000CF = €13 500S = €12 000n = 6r = 12%

NPV = €

4.VAN et TRIDifficile

Un projet coûte €20 000 et rapporte €9 000, €6 500, €11 000 à la fin des années 1 à 3. Les flux peuvent être réinvestis au coût du capital de 12 %. Trouvez le taux de rendement interne modifié MIRR en pourcentage.

r = 12%CF₀ = −20 000CF₁ = 9 000CF₂ = 6 500CF₃ = 11 000

MIRR = %

5.Prix et rendement des obligationsMoyen

Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 4% en deux versements semestriels et arrive à échéance dans 9 ans. Le taux de rendement actuariel est de 9% par an. Trouvez le prix P de l’obligation.

F = €1 000coupon = 4%YTM = 9%n = 9

P = €

6.Prix et rendement des obligationsDifficile

Une obligation de valeur nominale €1 000 avec un coupon annuel de 8% arrive à échéance dans 3 ans et se vend €940. Trouvez son taux de rendement actuariel YTM en pourcentage.

F = €1 000coupon = 8%n = 3P = €940

YTM = %

7.CAPM et WACCMoyen

Une entreprise a des capitaux propres de €12 000 000 et une dette de €2 000 000. Son coût des capitaux propres est de 14%, son coût de la dette avant impôt de 3% et le taux d’imposition de 21%. Trouvez le WACC.

E = €12 000 000D = €2 000 000r_e = 14%r_d = 3%T = 21%

WACC = %

8.CAPM et WACCDifficile

Une entreprise a 2 000 000 actions cotant €11,00 ; la valeur comptable de ses capitaux propres est de €13 200 000. Elle vient de verser un dividende de €1,50 par action, et les dividendes croissent de 3% par an. Sa dette a une valeur de marché de €11 000 000 et un coût avant impôt de 4,5%. Le taux d’imposition est de 20%. Trouvez le WACC en utilisant le modèle de croissance des dividendes pour le coût des capitaux propres.

N = 2 000 000P₀ = €11,00capitaux propres comptables = €13 200 000D₀ = €1,50g = 3%D = €11 000 000r_d = 4,5%T = 20%

WACC = %

9.Seuil de rentabilitéMoyen

Un produit peut être fabriqué de deux façons. La méthode A a des coûts fixes de €25 000 par an et un coût variable de €8 par unité. La méthode B, plus automatisée, a des coûts fixes de €29 000 par an et un coût variable de €4 par unité. À quel volume annuel Q les deux méthodes coûtent-elles autant ?

F_A = €25 000v_A = €8F_B = €29 000v_B = €4

Q = unités

10.Seuil de rentabilitéDifficile

Un produit se vend €33 l'unité, avec un coût variable de €30 par unité et des coûts fixes de €2 400 par an. Les ventes prévues sont de 920 unités. Calcule la marge de sécurité MS en pourcentage des ventes prévues.

F = €2 400p = €33v = €30prévision = 920

MS = %

3Solutions

1.Valeur temps de l'argent

Réponse: FV = 28651 €

Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)ⁿ. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.

Taux et nombre de périodes

i = r/m = 0,036000000000000004/12 = 0,003

N = m·n = 12·10 = 120

Valeur future

FV = 20 000·(1 + 0,003)¹²⁰ = 20 000·1,433 = €28 651,14

Réponse

FV = €28 651,14

2.Valeur temps de l'argent

Réponse: N = 64 versements

Réarranger la formule d’annuité

i = 0,0035

(1 + i)^−N = 1 − 10 000·0,0035/175 = 0,8

Résoudre avec les logarithmes

N = −ln(0,8)/ln(1,004) = 63,87

Arrondir au nombre entier de versements supérieur

63 versements complets laissent un petit solde, que le dernier versement, plus petit, solde.

N = 64

Réponse

N = 64 versements

3.VAN et TRI

Réponse: NPV = 1584 €

Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.

Valeur actuelle des flux annuels

13 500·4,111 = 55 504,00

Valeur actuelle de la valeur résiduelle

12 000/1,974 = 6 079,57

NPV

NPV = −60 000 + 55 504,00 + 6 079,57 = €1 583,57

Réponse

NPV = €1 583,57

4.VAN et TRI

Réponse: MIRR = 13,92 %

TRI modifié : capitalisez chaque encaissement jusqu’à la fin du projet au taux de réinvestissement (en général le coût du capital) pour obtenir la valeur terminale TV. Le TRIM est le taux qui transforme l’investissement initial en TV : MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

Valeur terminale des encaissements

9 000·1,12² = 11 289,60

6 500·1,12¹ = 7 280,00

11 000·1,12⁰ = 11 000,00

TV = 29 569,60

MIRR

MIRR = (29 569,60/20 000)^1/3 − 1 = 13,92%

Réponse

MIRR = 13,92%

5.Prix et rendement des obligations

Réponse: P = 696 €

Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.

Par période

C = €20,00, i = 0,045, N = 18

Valeur actuelle des coupons

€20,00·(1 − 0,4528)/0,045 = €243,20

Valeur actuelle du nominal

€1 000·0,4528 = €452,80

Prix

P = €696,00

Réponse

P = €696,00

Le rendement est supérieur au taux du coupon, donc l’obligation se vend avec une décote (sous le pair).

6.Prix et rendement des obligations

Réponse: YTM = 10,43 %

Équation du rendement

€940 = €80·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³

Résoudre numériquement

P(10%) = €950,26, P(11%) = €926,69

YTM = 10,43%

Réponse

YTM = 10,43%

7.CAPM et WACC

Réponse: WACC = 12,34 %

Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).

Pondérations

V = €14 000 000, E/V = 0,8571, D/V = 0,1429

WACC

WACC = 0,8571·14% + 0,1429·3%·(1 − 0,21) = 12,34%

Réponse

WACC = 12,34%

8.CAPM et WACC

Réponse: WACC = 12,56 %

Coût des capitaux propres

D₁ = 1,5·1,03 = €1,54

r_e = 1,545/11 + 0,03 = 17,05%

Valeurs de marché

E = 2 000 000·€11,00 = €22 000 000

V = €33 000 000, E/V = 0,6667, D/V = 0,3333

WACC

WACC = 0,6667·17,05% + 0,3333·4,5%·(1 − 0,2) = 12,56%

Réponse

WACC = 12,56%

9.Seuil de rentabilité

Réponse: Q = 1000 unités

Coût-volume-profit : chaque unité vendue rapporte une marge sur coût variable, le prix moins le coût variable unitaire. Bénéfice = Q·(p − v) − F, où F est le coût fixe. Au seuil de rentabilité le bénéfice est nul, donc Q = F/(p − v).

Coûts totaux égaux

25 000 + 8Q = 29 000 + 4Q

Isoler Q

Q = (29 000 − 25 000)/(8 − 4) = 1 000

Réponse

Q = 1 000 unités

En dessous de ce volume, la méthode A est moins chère ; au-dessus, c’est la méthode automatisée B.

10.Seuil de rentabilité

Réponse: MS = 13,04 %

Quantité au seuil de rentabilité

Q = F/(p − v) = 2 400/3 = 800

Marge de sécurité

MS = (920 − 800)/920·100 = 13,04%

Réponse

MS = 13,04%

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