Finance d’entreprise : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 10 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Valeur temps de l'argent

Valeur future: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valeur actuelle: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Plusieurs périodes par an: i = r/m, N = m·n
Annuités, valeur actuelle: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Annuités, valeur future: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Méthode

Tracez un axe du temps avec chaque flux de trésorerie et sa date.
Faites correspondre le taux à la période : un taux mensuel pour des versements mensuels.
Utilisez FV = PV·(1 + i)ⁿ pour les montants uniques et les formules d’annuités pour les versements constants.
Vérifiez le signe et l’ordre de grandeur de la réponse.

VAN et TRI

Valeur actuelle nette: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Flux égaux: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Taux de rendement interne: le r pour lequel NPV = 0
Décision: accepter si NPV > 0 (ou IRR > rendement exigé)

Méthode

Listez tous les flux de trésorerie avec leur année ; l’investissement de l’année 0 est négatif.
Actualisez chaque flux : CF_t/(1 + r)^t.
Additionnez-les pour obtenir la VAN. Une valeur positive signifie que le projet rapporte plus que r.
Pour le TRI, trouvez le taux qui annule la VAN, par tâtonnement ou par interpolation.

Prix et rendement des obligations

Prix de l’obligation: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Coupons semestriels: C/2, y/2 et 2n périodes
Rendement courant: C/P
Prix et rendement: rendement en hausse → prix en baisse

Méthode

Trouvez le coupon par période et le rendement par période.
Prix = valeur actuelle des coupons (une annuité) + valeur actuelle de la valeur nominale.
Pour des coupons semestriels, prenez la moitié du coupon, la moitié du rendement et deux fois plus de périodes.
Vérification : si le rendement est supérieur au taux du coupon, le prix est inférieur à la valeur nominale.

CAPM et WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valeur de l’entreprise: V = E + D

Seuil de rentabilité

Marge sur coût variable: CM = p − v
Quantité au seuil de rentabilité: Q_BE = FC/(p − v)
Bénéfice visé: Q = (FC + profit)/(p − v)
Bénéfice: π = (p − v)·Q − FC
Marge de sécurité: (Q − Q_BE)/Q

2Exercices

1.Valeur temps de l'argentMoyen

Tu places €3 000 à un taux nominal de 6 % par an, capitalisés trimestriellement. Calcule la valeur FV du placement après 2 ans.

PV = €3 0006% / 4n = 2

FV = €

2.Valeur temps de l'argentDifficile

Tu épargnes €250 à la fin de chaque mois pendant 25 ans. Le compte rapporte 7,2 % par an, capitalisés mensuellement. Combien as-tu épargné à la fin ? Calcule FV.

A = €2507,2% / 12N = 300

FV = €

3.VAN et TRIMoyen

Une machine coûte €80 000 aujourd’hui, dure 9 ans et coûte €2 000 par an en fonctionnement (payés à la fin de chaque année). Le coût du capital est de 8 %. Trouvez son coût annuel équivalent EAC.

C₀ = €80 000M = €2 000n = 9r = 8%

EAC = €

4.VAN et TRIDifficile

Un projet coûte €100 000 aujourd’hui. Son flux vaut €20 000 à la fin de l’année 1 et croît de 4 % par an jusqu’au dernier flux à la fin de l’année 6. Le coût du capital est de 12 %. Trouvez la valeur actuelle nette NPV.

C₀ = €100 000CF₁ = €20 000g = 4%n = 6r = 12%

NPV = €

5.Prix et rendement des obligationsMoyen

Une obligation de valeur nominale €1 000 arrive à échéance dans 15 ans et verse des coupons annuels. Elle se vend €743 quand le taux de rendement actuariel est de 8%. Trouvez le taux du coupon c en pourcentage.

F = €1 000n = 15P = €743YTM = 8%

c = %

6.Prix et rendement des obligationsDifficile

Une obligation de valeur nominale €1 000 avec un coupon annuel de 7% arrive à échéance dans 3 ans et se vend €1 055. Trouvez son taux de rendement actuariel YTM en pourcentage.

F = €1 000coupon = 7%n = 3P = €1 055

YTM = %

7.CAPM et WACCMoyen

Une entreprise est financée par des actions ordinaires valant €10 000 000, des actions privilégiées valant €2 000 000 et une dette valant €6 000 000. Le coût des capitaux propres est de 12%, le coût des actions privilégiées de 6,5% et le coût de la dette avant impôt de 3%. Le taux d’imposition est de 28%. Trouvez le WACC.

E = €10 000 000P_s = €2 000 000D = €6 000 000r_e = 12%r_p = 6,5%r_d = 3%T = 28%

WACC = %

8.CAPM et WACCDifficile

Une entreprise a 5 000 000 actions à €37,00 chacune et 40 000 obligations cotées €1 000 chacune. Le coût de la dette avant impôt est de 6% et le taux d’imposition de 25%. Le bêta de l’action est de 1,8, le taux sans risque de 1,5% et la rentabilité du marché de 7,5%. Trouvez le WACC.

β = 1,8r_f = 1,5%r_m = 7,5%r_d = 6%T = 25%

WACC = %

9.Seuil de rentabilitéMoyen

Un produit se vend €28 l'unité avec un coût variable de €20 par unité. Les coûts fixes sont de €8 000 par mois. Combien d'unités Q faut-il vendre par mois pour faire un bénéfice de €5 000 ?

F = €8 000p = €28v = €20bénéfice = €5 000

Q = unités

10.Seuil de rentabilitéDifficile

Un produit se vend €32 l'unité, avec un coût variable de €20 par unité et des coûts fixes de €18 000 par an. Les ventes prévues sont de 1 880 unités. Calcule la marge de sécurité MS en pourcentage des ventes prévues.

F = €18 000p = €32v = €20prévision = 1 880

MS = %

3Solutions

1.Valeur temps de l'argent

Réponse: FV = 3379 €

Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)ⁿ. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.

Taux et nombre de périodes

i = r/m = 0,06/4 = 0,015

N = m·n = 4·2 = 8

Valeur future

FV = 3 000·(1 + 0,015)⁸ = 3 000·1,126 = €3 379,48

Réponse

FV = €3 379,48

2.Valeur temps de l'argent

Réponse: FV = 209050 €

Taux mensuel et nombre de versements

i = 0,07200000000000001/12 = 0,006

N = 12·25 = 300

Valeur future des versements

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 250·(6,017 − 1)/0,006 = €209 049,87

Réponse

FV = €209 049,87

Tu as versé toi-même €75 000 ; le reste, ce sont des intérêts.

3.VAN et TRI

Réponse: EAC = 14806 €

Coût annuel équivalent : répartissez la valeur actuelle de tous les coûts sur la durée de vie sous forme d’un montant annuel constant (une annuité) : EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Cela permet de comparer des machines de durées de vie différentes.

Facteur d’annuité

(1 − 1,08⁻⁹)/0,08 = 6,247

Prix d’achat annualisé

80 000/6,247 = 12 806,38

EAC

EAC = 12 806,38 + 2 000 = €14 806,38

Réponse

EAC = €14 806,38

4.VAN et TRI

Réponse: NPV = −10262 €

Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.

Valeur actuelle de l’annuité croissante

((1,04)/(1,12))⁶ = 0,641

PV = 20 000/(0,12 − 0,04)·(1 − 0,641) = 89 737,50

NPV

NPV = 89 737,50 − 100 000 = −€10 262,50

Réponse

NPV = −€10 262,50

La VAN est négative : le projet rapporte moins que le rendement exigé.

5.Prix et rendement des obligations

Réponse: c = 4,997 %

Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.

Valeur actuelle du nominal

1000·(1 + 0,08)⁻¹⁵ = €315,24

Coupon

C = (743 − 315,24)/8,559 = €49,97

Taux du coupon

c = 49,97/1000 = 4,997%

Réponse

c = 4,997%

6.Prix et rendement des obligations

Réponse: YTM = 4,981 %

Équation du rendement

€1 055 = €70·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³

Résoudre numériquement

P(4%) = €1 083,25, P(5%) = €1 054,46

YTM = 4,981%

Réponse

YTM = 4,981%

7.CAPM et WACC

Réponse: WACC = 8,109 %

Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).

Pondérations

V = 10 000 000 + 2 000 000 + 6 000 000 = €18 000 000

E/V = 0,5556, P_s/V = 0,1111, D/V = 0,3333

WACC

WACC = 0,5556·12% + 0,1111·6,5% + 0,3333·3%·(1 − 0,28) = 8,109%

Réponse

WACC = 8,109%

8.CAPM et WACC

Réponse: WACC = 10,91 %

Valeurs de marché

E = 5 000 000·€37,00 = €185 000 000

D = 40 000·€1 000 = €40 000 000

Coût des capitaux propres (CAPM)

r_e = 1,5% + 1,8·6% = 12,3%

Pondérations

V = €225 000 000, E/V = 0,8222, D/V = 0,1778

WACC

WACC = 0,8222·12,3% + 0,1778·6%·(1 − 0,25) = 10,91%

Réponse

WACC = 10,91%

9.Seuil de rentabilité

Réponse: Q = 1625 unités

Coût-volume-profit : chaque unité vendue rapporte une marge sur coût variable, le prix moins le coût variable unitaire. Bénéfice = Q·(p − v) − F, où F est le coût fixe. Au seuil de rentabilité le bénéfice est nul, donc Q = F/(p − v).

Marge unitaire sur coût variable

p − v = 28 − 20 = €8

Unités pour le bénéfice visé

Q = (F + bénéfice)/(p − v) = (8 000 + 5 000)/8 = 1 625

Réponse

Q = 1 625 unités

10.Seuil de rentabilité

Réponse: MS = 20,21 %

Quantité au seuil de rentabilité

Q = F/(p − v) = 18 000/12 = 1 500

Marge de sécurité

MS = (1 880 − 1 500)/1 880·100 = 20,21%

Réponse

MS = 20,21%

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