Finance d’entreprise : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 10 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Valeur temps de l'argent

Valeur future: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valeur actuelle: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Plusieurs périodes par an: i = r/m, N = m·n
Annuités, valeur actuelle: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Annuités, valeur future: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Méthode

Tracez un axe du temps avec chaque flux de trésorerie et sa date.
Faites correspondre le taux à la période : un taux mensuel pour des versements mensuels.
Utilisez FV = PV·(1 + i)ⁿ pour les montants uniques et les formules d’annuités pour les versements constants.
Vérifiez le signe et l’ordre de grandeur de la réponse.

VAN et TRI

Valeur actuelle nette: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Flux égaux: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Taux de rendement interne: le r pour lequel NPV = 0
Décision: accepter si NPV > 0 (ou IRR > rendement exigé)

Méthode

Listez tous les flux de trésorerie avec leur année ; l’investissement de l’année 0 est négatif.
Actualisez chaque flux : CF_t/(1 + r)^t.
Additionnez-les pour obtenir la VAN. Une valeur positive signifie que le projet rapporte plus que r.
Pour le TRI, trouvez le taux qui annule la VAN, par tâtonnement ou par interpolation.

Prix et rendement des obligations

Prix de l’obligation: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Coupons semestriels: C/2, y/2 et 2n périodes
Rendement courant: C/P
Prix et rendement: rendement en hausse → prix en baisse

Méthode

Trouvez le coupon par période et le rendement par période.
Prix = valeur actuelle des coupons (une annuité) + valeur actuelle de la valeur nominale.
Pour des coupons semestriels, prenez la moitié du coupon, la moitié du rendement et deux fois plus de périodes.
Vérification : si le rendement est supérieur au taux du coupon, le prix est inférieur à la valeur nominale.

CAPM et WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valeur de l’entreprise: V = E + D

Seuil de rentabilité

Marge sur coût variable: CM = p − v
Quantité au seuil de rentabilité: Q_BE = FC/(p − v)
Bénéfice visé: Q = (FC + profit)/(p − v)
Bénéfice: π = (p − v)·Q − FC
Marge de sécurité: (Q − Q_BE)/Q

2Exercices

1.Valeur temps de l'argentMoyen

Une annuité verse €2 000 à la fin de chaque année pendant 5 ans. Le taux d’intérêt est de 8 % par an. Trouvez la valeur actuelle PV de l’annuité.

A = €2 000i = 8%n = 5

PV = €

2.Valeur temps de l'argentDifficile

Un prêt de €25 000 est remboursé par mensualités égales sur 5 ans. Le taux d'intérêt est de 6 % par an, capitalisés mensuellement. Calcule la mensualité A.

P = €25 0006% / 12N = 60

A = €

3.VAN et TRIMoyen

Un projet coûte €30 000 aujourd’hui et rapporte €7 000, €13 000, €8 500, €10 500 à la fin des années 1 à 4. Le coût du capital est de 6 %. Supposez que les flux arrivent régulièrement au cours de chaque année. Trouvez le délai de récupération actualisé DPB en années.

r = 6%CF₀ = −30 000CF₁ = 7 000CF₂ = 13 000CF₃ = 8 500CF₄ = 10 500

DPB = ans

4.VAN et TRIDifficile

Un projet coûte €25 000 et rapporte €10 500, €13 500, €13 000, €8 500 à la fin des années 1 à 4. Les flux peuvent être réinvestis au coût du capital de 8 %. Trouvez le taux de rendement interne modifié MIRR en pourcentage.

r = 8%CF₀ = −25 000CF₁ = 10 500CF₂ = 13 500CF₃ = 13 000CF₄ = 8 500

MIRR = %

5.Prix et rendement des obligationsMoyen

Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 2% en deux versements semestriels et arrive à échéance dans 4 ans. Le taux de rendement actuariel est de 2,5% par an. Trouvez le prix P de l’obligation.

F = €1 000coupon = 2%YTM = 2,5%n = 4

P = €

6.Prix et rendement des obligationsDifficile

Une obligation à 12 ans de l’échéance (valeur nominale €1 000, coupon annuel 6%) se vend €1 188. L’émetteur peut la rembourser par anticipation dans 3 ans à un prix de remboursement anticipé de €1 060. Trouvez le rendement au remboursement anticipé YTC en pourcentage.

F = €1 000coupon = 6%P = €1 188prix de remboursement anticipé = €1 060remboursement anticipé dans 3 ans

YTC = %

7.CAPM et WACCMoyen

Une entreprise a des capitaux propres de €12 000 000 et une dette de €2 000 000. Son coût des capitaux propres est de 10%, son coût de la dette avant impôt de 4,5% et le taux d’imposition de 30%. Trouvez le WACC.

E = €12 000 000D = €2 000 000r_e = 10%r_d = 4,5%T = 30%

WACC = %

8.CAPM et WACCDifficile

Une entreprise a 5 000 000 actions à €21,00 chacune et 40 000 obligations cotées €980 chacune. Le coût de la dette avant impôt est de 3% et le taux d’imposition de 25,8%. Le bêta de l’action est de 1,1, le taux sans risque de 2% et la rentabilité du marché de 8%. Trouvez le WACC.

β = 1,1r_f = 2%r_m = 8%r_d = 3%T = 25,8%

WACC = %

9.Seuil de rentabilitéMoyen

Un produit se vend €50 l'unité avec un coût variable de €30 par unité. Les coûts fixes sont de €10 000 par mois. Combien d'unités Q faut-il vendre par mois pour faire un bénéfice de €6 000 ?

F = €10 000p = €50v = €30bénéfice = €6 000

Q = unités

10.Seuil de rentabilitéDifficile

Une entreprise vend 750 unités par mois à €28 chacune, avec un coût variable de €18 par unité et des coûts fixes de €5 000 par mois. Le coût variable augmente de €4 par unité et le prix reste le même. Combien d’unités Q faut-il désormais vendre par mois pour conserver le même bénéfice ?

Q = 750p = €28v = €18 → €22F = €5 000

Q = unités

3Solutions

1.Valeur temps de l'argent

Réponse: PV = 7985 €

Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)ⁿ. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.

Facteur d’annuité

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0,6806)/0,08 = 3,993

Valeur actuelle

PV = 2 000·3,993 = €7 985,42

Réponse

PV = €7 985,42

2.Valeur temps de l'argent

Réponse: A = 483,3 €

Taux mensuel et nombre de mensualités

i = 0,06/12 = 0,005

N = 12·5 = 60

Mensualité

La valeur actuelle de N paiements égaux A vaut A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Égale-la au prêt et résous pour A.

(1 + i)^−N = 0,7414

A = 25 000·0,005/(1 − 0,7414) = €483,32

Réponse

A = €483,32

3.VAN et TRI

Réponse: DPB = 3,564 ans

Délai de récupération : le temps nécessaire pour que les flux de trésorerie cumulés remboursent l’investissement initial. On suppose que la trésorerie arrive régulièrement au cours de chaque année, donc la dernière partie est une fraction d’année. Le délai de récupération simple ignore la valeur temps de l’argent ; le délai de récupération actualisé utilise à la place les flux actualisés.

Flux actualisés et cumulés

année 1: 7 000/1,06 = 6 603,77 → Σ = 6 603,77

année 2: 13 000/1,124 = 11 569,95 → Σ = 18 173,73

année 3: 8 500/1,191 = 7 136,76 → Σ = 25 310,49

année 4: 10 500/1,262 = 8 316,98 → Σ = 33 627,47

Fraction de la dernière année

DPB = 3 + 4 689,51/8 316,98 = 3,564

Réponse

DPB = 3,564 ans

Le délai de récupération actualisé est toujours plus long que le délai de récupération simple (3,143 ans).

4.VAN et TRI

Réponse: MIRR = 19,81 %

TRI modifié : capitalisez chaque encaissement jusqu’à la fin du projet au taux de réinvestissement (en général le coût du capital) pour obtenir la valeur terminale TV. Le TRIM est le taux qui transforme l’investissement initial en TV : MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

Valeur terminale des encaissements

10 500·1,08³ = 13 226,98

13 500·1,08² = 15 746,40

13 000·1,08¹ = 14 040,00

8 500·1,08⁰ = 8 500,00

TV = 51 513,38

MIRR

MIRR = (51 513,38/25 000)^1/4 − 1 = 19,81%

Réponse

MIRR = 19,81%

5.Prix et rendement des obligations

Réponse: P = 981,1 €

Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.

Par période

C = €10,00, i = 0,0125, N = 8

Valeur actuelle des coupons

€10,00·(1 − 0,9054)/0,0125 = €75,68

Valeur actuelle du nominal

€1 000·0,9054 = €905,40

Prix

P = €981,08

Réponse

P = €981,08

Le rendement est supérieur au taux du coupon, donc l’obligation se vend avec une décote (sous le pair).

6.Prix et rendement des obligations

Réponse: YTC = 1,513 %

Équation du rendement

1188 = 60·(1 − (1 + y)⁻³)/y + 1060/(1 + y)³

Résoudre numériquement

y = 1%: €1 205,28

y = 2%: €1 171,89

YTC = 1,513%

Réponse

YTC = 1,513%

Le taux de rendement actuariel à l’échéance est de 3,997%. Les investisseurs d’une obligation cotant au-dessus du pair s’attendent à un remboursement anticipé, donc le rendement au remboursement anticipé, plus faible, est le plus réaliste.

7.CAPM et WACC

Réponse: WACC = 9,021 %

Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).

Pondérations

V = €14 000 000, E/V = 0,8571, D/V = 0,1429

WACC

WACC = 0,8571·10% + 0,1429·4,5%·(1 − 0,3) = 9,021%

Réponse

WACC = 9,021%

8.CAPM et WACC

Réponse: WACC = 6,867 %

Valeurs de marché

E = 5 000 000·€21,00 = €105 000 000

D = 40 000·€980 = €39 200 000

Coût des capitaux propres (CAPM)

r_e = 2% + 1,1·6% = 8,6%

Pondérations

V = €144 200 000, E/V = 0,7282, D/V = 0,2718

WACC

WACC = 0,7282·8,6% + 0,2718·3%·(1 − 0,258) = 6,867%

Réponse

WACC = 6,867%

9.Seuil de rentabilité

Réponse: Q = 800 unités

Coût-volume-profit : chaque unité vendue rapporte une marge sur coût variable, le prix moins le coût variable unitaire. Bénéfice = Q·(p − v) − F, où F est le coût fixe. Au seuil de rentabilité le bénéfice est nul, donc Q = F/(p − v).

Marge unitaire sur coût variable

p − v = 50 − 30 = €20

Unités pour le bénéfice visé

Q = (F + bénéfice)/(p − v) = (10 000 + 6 000)/20 = 800

Réponse

Q = 800 unités

10.Seuil de rentabilité

Réponse: Q = 1250 unités

Bénéfice actuel

Π = 750·(28 − 18) − 5 000 = €2 500

Nouvelle marge sur coût variable unitaire

28 − 22 = €6

Unités pour le même bénéfice

Q = (5 000 + 2 500)/6 = 1 250

Réponse

Q = 1 250 unités

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