Finance d’entreprise : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 10 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Valeur temps de l'argent

Valeur future: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valeur actuelle: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Plusieurs périodes par an: i = r/m, N = m·n
Annuités, valeur actuelle: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Annuités, valeur future: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Méthode

Tracez un axe du temps avec chaque flux de trésorerie et sa date.
Faites correspondre le taux à la période : un taux mensuel pour des versements mensuels.
Utilisez FV = PV·(1 + i)ⁿ pour les montants uniques et les formules d’annuités pour les versements constants.
Vérifiez le signe et l’ordre de grandeur de la réponse.

VAN et TRI

Valeur actuelle nette: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Flux égaux: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Taux de rendement interne: le r pour lequel NPV = 0
Décision: accepter si NPV > 0 (ou IRR > rendement exigé)

Méthode

Listez tous les flux de trésorerie avec leur année ; l’investissement de l’année 0 est négatif.
Actualisez chaque flux : CF_t/(1 + r)^t.
Additionnez-les pour obtenir la VAN. Une valeur positive signifie que le projet rapporte plus que r.
Pour le TRI, trouvez le taux qui annule la VAN, par tâtonnement ou par interpolation.

Prix et rendement des obligations

Prix de l’obligation: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Coupons semestriels: C/2, y/2 et 2n périodes
Rendement courant: C/P
Prix et rendement: rendement en hausse → prix en baisse

Méthode

Trouvez le coupon par période et le rendement par période.
Prix = valeur actuelle des coupons (une annuité) + valeur actuelle de la valeur nominale.
Pour des coupons semestriels, prenez la moitié du coupon, la moitié du rendement et deux fois plus de périodes.
Vérification : si le rendement est supérieur au taux du coupon, le prix est inférieur à la valeur nominale.

CAPM et WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valeur de l’entreprise: V = E + D

Seuil de rentabilité

Marge sur coût variable: CM = p − v
Quantité au seuil de rentabilité: Q_BE = FC/(p − v)
Bénéfice visé: Q = (FC + profit)/(p − v)
Bénéfice: π = (p − v)·Q − FC
Marge de sécurité: (Q − Q_BE)/Q

2Exercices

1.Valeur temps de l'argentMoyen

Tu as besoin de €10 000 dans 5 ans. Un compte rapporte 6 % par an, capitalisés mensuellement. Combien dois-tu déposer aujourd'hui ? Calcule la valeur actuelle PV.

FV = €10 0006% / 12n = 5

PV = €

2.Valeur temps de l'argentDifficile

Un prêt immobilier de €250 000 est remboursé par mensualités constantes sur 20 ans à 4,2 % par an, capitalisé mensuellement. Combien reste-t-il à rembourser juste après le versement de la fin de l’année 6 ? Trouvez le capital restant dû B.

P = €250 0004,2% / 12N = 240k = 72

B = €

3.VAN et TRIMoyen

Un projet coûte €100 000 aujourd’hui. Il génère €9 000 à la fin de la première année, puis le flux croît de 4 % par an indéfiniment. Le coût du capital est de 11 %. Trouvez la valeur actuelle nette NPV.

C₀ = €100 000CF₁ = €9 000g = 4%r = 11%

NPV = €

4.VAN et TRIDifficile

Un projet coûte €20 000 et rapporte €7 500, €10 500, €7 500, €11 000 à la fin des années 1 à 4. Les flux peuvent être réinvestis au coût du capital de 8 %. Trouvez le taux de rendement interne modifié MIRR en pourcentage.

r = 8%CF₀ = −20 000CF₁ = 7 500CF₂ = 10 500CF₃ = 7 500CF₄ = 11 000

MIRR = %

5.Prix et rendement des obligationsMoyen

Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 2% en deux versements semestriels et arrive à échéance dans 10 ans. Le taux de rendement actuariel est de 3% par an. Trouvez le prix P de l’obligation.

F = €1 000coupon = 2%YTM = 3%n = 10

P = €

6.Prix et rendement des obligationsDifficile

Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 4,5% en deux versements semestriels et arrive à échéance dans 11 ans. Elle se vend €958. Trouvez son taux de rendement actuariel YTM sous forme de taux annuel (deux fois le rendement semestriel), en pourcentage.

F = €1 000coupon = 4,5% (2×)n = 11P = €958

YTM = %

7.CAPM et WACCMoyen

Une entreprise a des capitaux propres de €6 000 000 et une dette de €4 000 000. Son coût des capitaux propres est de 11%, son coût de la dette avant impôt de 7% et le taux d’imposition de 20%. Trouvez le WACC.

E = €6 000 000D = €4 000 000r_e = 11%r_d = 7%T = 20%

WACC = %

8.CAPM et WACCDifficile

Les actions d’une entreprise ont un bêta de 1,3 pour son ratio dette/capitaux propres actuel de 0,4. Elle prévoit de porter ce ratio à 0,6. Le taux d’imposition est de 30%, le taux sans risque de 2,5% et la prime de risque du marché de 4%. Trouvez le coût des capitaux propres r_e après ce changement.

β_L = 1,3D/E₁ = 0,4D/E₂ = 0,6T = 30%r_f = 2,5%r_m − r_f = 4%

r_e = %

9.Seuil de rentabilitéMoyen

Un produit se vend €29 l'unité avec un coût variable de €25 par unité. Les coûts fixes sont de €10 000 par mois. Combien d'unités Q faut-il vendre par mois pour faire un bénéfice de €10 000 ?

F = €10 000p = €29v = €25bénéfice = €10 000

Q = unités

10.Seuil de rentabilitéDifficile

Un produit se vend €10 l'unité, avec un coût variable de €8 par unité et des coûts fixes de €8 000 par an. Les ventes prévues sont de 4 800 unités. Calcule la marge de sécurité MS en pourcentage des ventes prévues.

F = €8 000p = €10v = €8prévision = 4 800

MS = %

3Solutions

1.Valeur temps de l'argent

Réponse: PV = 7414 €

Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)ⁿ. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.

Taux et nombre de périodes

i = 0,06/12 = 0,005

N = 12·5 = 60

Valeur actuelle

PV = FV/(1 + i)^N = 10 000/1,349 = €7 413,72

Réponse

PV = €7 413,72

2.Valeur temps de l'argent

Réponse: B = 195538 €

Mensualité

i = 0,0035, N = 240

A = 250 000·0,0035/(1 − (1 + 0,0035)⁻²⁴⁰) = €1 541,43

Valeur actuelle des versements restants

Ce qui reste dû doit être exactement remboursé par les versements restants.

N − k = 240 − 72 = 168

B = 1541·(1 − (1 + 0,0035)⁻¹⁶⁸)/0,0035 = €195 537,68

Réponse

B = €195 537,68

3.VAN et TRI

Réponse: NPV = 28571 €

Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.

Valeur des flux

PV = 9 000/(0,11 − 0,04) = 128 571,43

NPV

NPV = 128 571,43 − 100 000 = €28 571,43

Réponse

NPV = €28 571,43

La VAN est positive : le projet rapporte plus que le rendement exigé.

4.VAN et TRI

Réponse: MIRR = 19,51 %

TRI modifié : capitalisez chaque encaissement jusqu’à la fin du projet au taux de réinvestissement (en général le coût du capital) pour obtenir la valeur terminale TV. Le TRIM est le taux qui transforme l’investissement initial en TV : MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

Valeur terminale des encaissements

7 500·1,08³ = 9 447,84

10 500·1,08² = 12 247,20

7 500·1,08¹ = 8 100,00

11 000·1,08⁰ = 11 000,00

TV = 40 795,04

MIRR

MIRR = (40 795,04/20 000)^1/4 − 1 = 19,51%

Réponse

MIRR = 19,51%

5.Prix et rendement des obligations

Réponse: P = 914,2 €

Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.

Par période

C = €10,00, i = 0,015, N = 20

Valeur actuelle des coupons

€10,00·(1 − 0,7425)/0,015 = €171,69

Valeur actuelle du nominal

€1 000·0,7425 = €742,47

Prix

P = €914,16

Réponse

P = €914,16

Le rendement est supérieur au taux du coupon, donc l’obligation se vend avec une décote (sous le pair).

6.Prix et rendement des obligations

Réponse: YTM = 5,001 %

Par période

C = €22,50, N = 22

Résoudre numériquement

i = 2,501% par semestre

YTM

YTM = 2·2,501% = 5,001%

Réponse

YTM = 5,001%

7.CAPM et WACC

Réponse: WACC = 8,84 %

Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).

Pondérations

V = €10 000 000, E/V = 0,6, D/V = 0,4

WACC

WACC = 0,6·11% + 0,4·7%·(1 − 0,2) = 8,84%

Réponse

WACC = 8,84%

8.CAPM et WACC

Réponse: r_e = 8,269 %

Bêta endetté (Hamada) : la dette rend les capitaux propres plus risqués. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), où β_U est le bêta de l’activité sans dette. Pour transposer un bêta à une autre structure du capital, désendettez-le d’abord, puis réendettez-le au nouveau D/E.

Désendetter le bêta

β_U = 1,3/(1 + 0,7·0,4) = 1,016

Réendetter au nouveau D/E

β_L = 1,016·(1 + 0,7·0,6) = 1,442

Coût des capitaux propres (CAPM)

r_e = 2,5% + 1,442·4% = 8,269%

Réponse

r_e = 8,269%

9.Seuil de rentabilité

Réponse: Q = 5000 unités

Coût-volume-profit : chaque unité vendue rapporte une marge sur coût variable, le prix moins le coût variable unitaire. Bénéfice = Q·(p − v) − F, où F est le coût fixe. Au seuil de rentabilité le bénéfice est nul, donc Q = F/(p − v).

Marge unitaire sur coût variable

p − v = 29 − 25 = €4

Unités pour le bénéfice visé

Q = (F + bénéfice)/(p − v) = (10 000 + 10 000)/4 = 5 000

Réponse

Q = 5 000 unités

10.Seuil de rentabilité

Réponse: MS = 16,67 %

Quantité au seuil de rentabilité

Q = F/(p − v) = 8 000/2 = 4 000

Marge de sécurité

MS = (4 800 − 4 000)/4 800·100 = 16,67%

Réponse

MS = 16,67%

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