Finance d’entreprise : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 10 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Valeur temps de l'argent

Valeur future: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valeur actuelle: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Plusieurs périodes par an: i = r/m, N = m·n
Annuités, valeur actuelle: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Annuités, valeur future: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Méthode

Tracez un axe du temps avec chaque flux de trésorerie et sa date.
Faites correspondre le taux à la période : un taux mensuel pour des versements mensuels.
Utilisez FV = PV·(1 + i)ⁿ pour les montants uniques et les formules d’annuités pour les versements constants.
Vérifiez le signe et l’ordre de grandeur de la réponse.

VAN et TRI

Valeur actuelle nette: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Flux égaux: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Taux de rendement interne: le r pour lequel NPV = 0
Décision: accepter si NPV > 0 (ou IRR > rendement exigé)

Méthode

Listez tous les flux de trésorerie avec leur année ; l’investissement de l’année 0 est négatif.
Actualisez chaque flux : CF_t/(1 + r)^t.
Additionnez-les pour obtenir la VAN. Une valeur positive signifie que le projet rapporte plus que r.
Pour le TRI, trouvez le taux qui annule la VAN, par tâtonnement ou par interpolation.

Prix et rendement des obligations

Prix de l’obligation: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Coupons semestriels: C/2, y/2 et 2n périodes
Rendement courant: C/P
Prix et rendement: rendement en hausse → prix en baisse

Méthode

Trouvez le coupon par période et le rendement par période.
Prix = valeur actuelle des coupons (une annuité) + valeur actuelle de la valeur nominale.
Pour des coupons semestriels, prenez la moitié du coupon, la moitié du rendement et deux fois plus de périodes.
Vérification : si le rendement est supérieur au taux du coupon, le prix est inférieur à la valeur nominale.

CAPM et WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valeur de l’entreprise: V = E + D

Seuil de rentabilité

Marge sur coût variable: CM = p − v
Quantité au seuil de rentabilité: Q_BE = FC/(p − v)
Bénéfice visé: Q = (FC + profit)/(p − v)
Bénéfice: π = (p − v)·Q − FC
Marge de sécurité: (Q − Q_BE)/Q

2Exercices

1.Valeur temps de l'argentMoyen

Tu as besoin de €10 000 dans 8 ans. Un compte rapporte 5 % par an, capitalisés trimestriellement. Combien dois-tu déposer aujourd'hui ? Calcule la valeur actuelle PV.

FV = €10 0005% / 4n = 8

PV = €

2.Valeur temps de l'argentDifficile

Vous empruntez €15 000 à 7,2 % par an, capitalisé mensuellement, et remboursez €275 à la fin de chaque mois. Combien de mois faut-il pour rembourser le prêt (le dernier versement peut être plus petit) ? Donnez le nombre de versements N.

P = €15 000A = €2757,2% / 12

N = versements

3.VAN et TRIMoyen

Un projet coûte €60 000 aujourd’hui et rapporte €19 000 à la fin de chaque année pendant 5 ans. Le coût du capital est de 5 %. Supposez que les flux arrivent régulièrement au cours de chaque année. Trouvez le délai de récupération actualisé DPB en années.

r = 5%CF₀ = −60 000CF₁ = 19 000CF₂ = 19 000CF₃ = 19 000CF₄ = 19 000CF₅ = 19 000

DPB = ans

4.VAN et TRIDifficile

Un projet coûte €40 000 et rapporte €26 000, €27 500, €23 000 à la fin des années 1 à 3. Calcule son taux de rendement interne IRR en pourcentage.

CF₀ = −40 000CF₁ = 26 000CF₂ = 27 500CF₃ = 23 000

IRR = %

5.Prix et rendement des obligationsMoyen

Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 3% en deux versements semestriels et arrive à échéance dans 8 ans. Le taux de rendement actuariel est de 3,5% par an. Trouvez le prix P de l’obligation.

F = €1 000coupon = 3%YTM = 3,5%n = 8

P = €

6.Prix et rendement des obligationsDifficile

Une obligation à 20 ans de l’échéance (valeur nominale €1 000, coupon annuel 7%) se vend €1 325. L’émetteur peut la rembourser par anticipation dans 5 ans à un prix de remboursement anticipé de €1 070. Trouvez le rendement au remboursement anticipé YTC en pourcentage.

F = €1 000coupon = 7%P = €1 325prix de remboursement anticipé = €1 070remboursement anticipé dans 5 ans

YTC = %

7.CAPM et WACCMoyen

Une action de bêta 0,8 a un rendement exigé de 5,6%. Le taux sans risque est de 2%. Quel rendement attendu du marché r_m le CAPM implique-t-il ?

β = 0,8r_e = 5,6%r_f = 2%

r_m = %

8.CAPM et WACCDifficile

Une entreprise a 4 000 000 actions à €14,50 chacune et 10 000 obligations cotées €960 chacune. Le coût de la dette avant impôt est de 7% et le taux d’imposition de 25%. Le bêta de l’action est de 1,1, le taux sans risque de 4% et la rentabilité du marché de 9,5%. Trouvez le WACC.

β = 1,1r_f = 4%r_m = 9,5%r_d = 7%T = 25%

WACC = %

9.Seuil de rentabilitéMoyen

Un produit se vend €50 l'unité avec un coût variable de €30 par unité. Les coûts fixes sont de €40 000 par mois. Combien d'unités Q faut-il vendre par mois pour faire un bénéfice de €6 000 ?

F = €40 000p = €50v = €30bénéfice = €6 000

Q = unités

10.Seuil de rentabilitéDifficile

Un produit se vend €24 l'unité, avec un coût variable de €20 par unité et des coûts fixes de €4 000 par an. Les ventes prévues sont de 1 300 unités. Calcule la marge de sécurité MS en pourcentage des ventes prévues.

F = €4 000p = €24v = €20prévision = 1 300

MS = %

3Solutions

1.Valeur temps de l'argent

Réponse: PV = 6720 €

Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)ⁿ. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.

Taux et nombre de périodes

i = 0,05/4 = 0,0125

N = 4·8 = 32

Valeur actuelle

PV = FV/(1 + i)^N = 10 000/1,488 = €6 719,84

Réponse

PV = €6 719,84

2.Valeur temps de l'argent

Réponse: N = 67 versements

Réarranger la formule d’annuité

i = 0,006

(1 + i)^−N = 1 − 15 000·0,006/275 = 0,6727

Résoudre avec les logarithmes

N = −ln(0,6727)/ln(1,006) = 66,27

Arrondir au nombre entier de versements supérieur

66 versements complets laissent un petit solde, que le dernier versement, plus petit, solde.

N = 67

Réponse

N = 67 versements

3.VAN et TRI

Réponse: DPB = 3,528 ans

Délai de récupération : le temps nécessaire pour que les flux de trésorerie cumulés remboursent l’investissement initial. On suppose que la trésorerie arrive régulièrement au cours de chaque année, donc la dernière partie est une fraction d’année. Le délai de récupération simple ignore la valeur temps de l’argent ; le délai de récupération actualisé utilise à la place les flux actualisés.

Flux actualisés et cumulés

année 1: 19 000/1,05 = 18 095,24 → Σ = 18 095,24

année 2: 19 000/1,103 = 17 233,56 → Σ = 35 328,80

année 3: 19 000/1,158 = 16 412,91 → Σ = 51 741,71

année 4: 19 000/1,216 = 15 631,35 → Σ = 67 373,06

Fraction de la dernière année

DPB = 3 + 8 258,29/15 631,35 = 3,528

Réponse

DPB = 3,528 ans

Le délai de récupération actualisé est toujours plus long que le délai de récupération simple (3,158 ans).

4.VAN et TRI

Réponse: IRR = 41,96 %

Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.

Encadrer le TRI

La VAN baisse quand le taux augmente, donc le TRI se trouve entre un taux à VAN positive et un taux à VAN négative.

NPV(40%) = 983,97

NPV(45%) = −1 444,91

Resserrer

L'interpolation linéaire donne une première estimation ; la répéter (ou utiliser la fonction TRI d'une calculatrice) donne le taux exact.

IRR ≈ 40 + 5·983,97/(983,97 − (−1 444,91)) = 42,03%

exact: NPV(41,96%) = 0 → IRR = 41,96%

Réponse

IRR = 41,96%

5.Prix et rendement des obligations

Réponse: P = 965,4 €

Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.

Par période

C = €15,00, i = 0,0175, N = 16

Valeur actuelle des coupons

€15,00·(1 − 0,7576)/0,0175 = €207,76

Valeur actuelle du nominal

€1 000·0,7576 = €757,62

Prix

P = €965,37

Réponse

P = €965,37

Le rendement est supérieur au taux du coupon, donc l’obligation se vend avec une décote (sous le pair).

6.Prix et rendement des obligations

Réponse: YTC = 1,552 %

Équation du rendement

1325 = 70·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + 1070/(1 + y)⁵

Résoudre numériquement

y = 1%: €1 357,81

y = 2%: €1 299,07

YTC = 1,552%

Réponse

YTC = 1,552%

Le taux de rendement actuariel à l’échéance est de 4,501%. Les investisseurs d’une obligation cotant au-dessus du pair s’attendent à un remboursement anticipé, donc le rendement au remboursement anticipé, plus faible, est le plus réaliste.

7.CAPM et WACC

Réponse: r_m = 6,5 %

Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).

Prime de risque du marché

r_m − r_f = (5,6% − 2%)/0,8 = 4,5%

Rendement du marché

r_m = 2% + 4,5% = 6,5%

Réponse

r_m = 6,5%

8.CAPM et WACC

Réponse: WACC = 9,368 %

Valeurs de marché

E = 4 000 000·€14,50 = €58 000 000

D = 10 000·€960 = €9 600 000

Coût des capitaux propres (CAPM)

r_e = 4% + 1,1·5,5% = 10,05%

Pondérations

V = €67 600 000, E/V = 0,858, D/V = 0,142

WACC

WACC = 0,858·10,05% + 0,142·7%·(1 − 0,25) = 9,368%

Réponse

WACC = 9,368%

9.Seuil de rentabilité

Réponse: Q = 2300 unités

Coût-volume-profit : chaque unité vendue rapporte une marge sur coût variable, le prix moins le coût variable unitaire. Bénéfice = Q·(p − v) − F, où F est le coût fixe. Au seuil de rentabilité le bénéfice est nul, donc Q = F/(p − v).

Marge unitaire sur coût variable

p − v = 50 − 30 = €20

Unités pour le bénéfice visé

Q = (F + bénéfice)/(p − v) = (40 000 + 6 000)/20 = 2 300

Réponse

Q = 2 300 unités

10.Seuil de rentabilité

Réponse: MS = 23,08 %

Quantité au seuil de rentabilité

Q = F/(p − v) = 4 000/4 = 1 000

Marge de sécurité

MS = (1 300 − 1 000)/1 300·100 = 23,08%

Réponse

MS = 23,08%

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