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1Formules et méthodes
Valeur temps de l'argent
Valeur future
FV = PV·(1 + i)n
Valeur actuelle
PV = FV/(1 + i)n
Plusieurs périodes par an
i = r/m, N = m·n
Annuités, valeur actuelle
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Annuités, valeur future
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Méthode
Tracez un axe du temps avec chaque flux de trésorerie et sa date.
Faites correspondre le taux à la période : un taux mensuel pour des versements mensuels.
Utilisez FV = PV·(1 + i)ⁿ pour les montants uniques et les formules d’annuités pour les versements constants.
Vérifiez le signe et l’ordre de grandeur de la réponse.
VAN et TRI
Valeur actuelle nette
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flux égaux
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taux de rendement interne
le r pour lequel NPV = 0
Décision
accepter si NPV > 0 (ou IRR > rendement exigé)
Méthode
Listez tous les flux de trésorerie avec leur année ; l’investissement de l’année 0 est négatif.
Actualisez chaque flux : CFt/(1 + r)t.
Additionnez-les pour obtenir la VAN. Une valeur positive signifie que le projet rapporte plus que r.
Pour le TRI, trouvez le taux qui annule la VAN, par tâtonnement ou par interpolation.
Prix et rendement des obligations
Prix de l’obligation
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Coupons semestriels
C/2, y/2 et 2n périodes
Rendement courant
C/P
Prix et rendement
rendement en hausse → prix en baisse
Méthode
Trouvez le coupon par période et le rendement par période.
Prix = valeur actuelle des coupons (une annuité) + valeur actuelle de la valeur nominale.
Pour des coupons semestriels, prenez la moitié du coupon, la moitié du rendement et deux fois plus de périodes.
Vérification : si le rendement est supérieur au taux du coupon, le prix est inférieur à la valeur nominale.
CAPM et WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valeur de l’entreprise
V = E + D
Seuil de rentabilité
Marge sur coût variable
CM = p − v
Quantité au seuil de rentabilité
QBE = FC/(p − v)
Bénéfice visé
Q = (FC + profit)/(p − v)
Bénéfice
π = (p − v)·Q − FC
Marge de sécurité
(Q − QBE)/Q
2Exercices
1.Valeur temps de l'argentMoyen
Tu as besoin de €50 000 dans 3 ans. Un compte rapporte 5 % par an, capitalisés trimestriellement. Combien dois-tu déposer aujourd'hui ? Calcule la valeur actuelle PV.
FV = €50 0005% / 4n = 3
PV = €
2.Valeur temps de l'argentDifficile
Vous voulez disposer de €25 000 dans 19 ans. Vous épargnez le même montant à la fin de chaque mois sur un compte rémunéré à 6 % par an, capitalisé mensuellement. Trouvez le versement mensuel A.
FV = €25 0006% / 12N = 228
A = €
3.VAN et TRIMoyen
Un projet coûte €50 000 aujourd’hui et rapporte €17 500 à la fin de chaque année pendant 5 ans. Le coût du capital est de 12 %. Supposez que les flux arrivent régulièrement au cours de chaque année. Trouvez le délai de récupération actualisé DPB en années.
Un projet coûte €25 000 et rapporte €11 000, €16 500 à la fin des années 1 à 2. Calcule son taux de rendement interne IRR en pourcentage.
CF0 = −25 000CF1 = 11 000CF2 = 16 500
IRR = %
5.Prix et rendement des obligationsMoyen
Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 5% et arrive à échéance dans 8 ans. Son taux de rendement actuariel passe de 8% à 7%. De combien ΔP le prix de l’obligation varie-t-il ?
F = €1 000coupon = 5%n = 8y1 = 8%y2 = 7%
ΔP = €
6.Prix et rendement des obligationsDifficile
Une obligation à 10 ans de l’échéance (valeur nominale €1 000, coupon annuel 6%) se vend €1 077. L’émetteur peut la rembourser par anticipation dans 6 ans à un prix de remboursement anticipé de €1 060. Trouvez le rendement au remboursement anticipé YTC en pourcentage.
F = €1 000coupon = 6%P = €1 077prix de remboursement anticipé = €1 060remboursement anticipé dans 6 ans
YTC = %
7.CAPM et WACCMoyen
Une entreprise a des capitaux propres de €4 000 000 et une dette de €6 000 000. Son coût des capitaux propres est de 14%, son coût de la dette avant impôt de 4,5% et le taux d’imposition de 21%. Trouvez le WACC.
Une entreprise a des capitaux propres d’une valeur de marché de €5 000 000 et un coût des capitaux propres de 10%. Sa dette se compose de 8 000 obligations (valeur nominale €1 000, coupon annuel 6%, 12 ans jusqu’à l’échéance) qui cotent €959 chacune. Le taux d’imposition est de 28%. Trouvez le WACC en prenant le taux de rendement actuariel des obligations comme coût de la dette avant impôt.
Un produit se vend €50 avec un coût variable de €30 par unité. Les coûts fixes s’élèvent à €30 000 par mois et le bénéfice est imposé à 25 %. Combien d’unités Q faut-il vendre par mois pour gagner €9 000 après impôt ?
p = €50v = €30F = €30 000T = 25%bénéfice après impôt = €9 000
Q = unités
10.Seuil de rentabilitéDifficile
Une entreprise vend deux produits. Le produit A se vend €16 avec un coût variable de €12 ; le produit B se vend €30 avec un coût variable de €15. Ils se vendent dans une proportion fixe de 3 unités de A pour 2 de B. Les coûts fixes s’élèvent à €16 800 par mois. Trouvez le nombre total d’unités Q (A et B ensemble) nécessaire pour atteindre le seuil de rentabilité.
pA = €16, vA = €12pB = €30, vB = €15A : B = 3 : 2F = €16 800
Q = unités
3Solutions
1.Valeur temps de l'argent
Réponse: PV = 43075 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Taux et nombre de périodes
i = 0,05/4 = 0,0125
N = 4·3 = 12
Valeur actuelle
PV = FV/(1 + i)N = 50 000/1,161 = €43 075,43
Réponse
PV = €43 075,43
2.Valeur temps de l'argent
Réponse: A = 59,02 €
Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)n. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.
Délai de récupération : le temps nécessaire pour que les flux de trésorerie cumulés remboursent l’investissement initial. On suppose que la trésorerie arrive régulièrement au cours de chaque année, donc la dernière partie est une fraction d’année. Le délai de récupération simple ignore la valeur temps de l’argent ; le délai de récupération actualisé utilise à la place les flux actualisés.
Flux actualisés et cumulés
année 1: 17 500/1,12 = 15 625,00 → Σ = 15 625,00
année 2: 17 500/1,254 = 13 950,89 → Σ = 29 575,89
année 3: 17 500/1,405 = 12 456,15 → Σ = 42 032,05
année 4: 17 500/1,574 = 11 121,57 → Σ = 53 153,61
Fraction de la dernière année
DPB = 3 + 7 967,95/11 121,57 = 3,716
Réponse
DPB = 3,716 ans
Le délai de récupération actualisé est toujours plus long que le délai de récupération simple (2,857 ans).
4.VAN et TRI
Réponse: IRR = 6,167 %
Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.
Encadrer le TRI
La VAN baisse quand le taux augmente, donc le TRI se trouve entre un taux à VAN positive et un taux à VAN négative.
NPV(5%) = 442,18
NPV(10%) = −1 363,64
Resserrer
L'interpolation linéaire donne une première estimation ; la répéter (ou utiliser la fonction TRI d'une calculatrice) donne le taux exact.
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.
Équation du rendement
1077 = 60·(1 − (1 + y)−6)/y + 1060/(1 + y)6
Résoudre numériquement
y = 5%: €1 095,53
y = 6%: €1 042,30
YTC = 5,341%
Réponse
YTC = 5,341%
Le taux de rendement actuariel à l’échéance est de 5,003%. Les investisseurs d’une obligation cotant au-dessus du pair s’attendent à un remboursement anticipé, donc le rendement au remboursement anticipé, plus faible, est le plus réaliste.
7.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 7,733 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Pondérations
V = €10 000 000, E/V = 0,4, D/V = 0,6
WACC
WACC = 0,4·14% + 0,6·4,5%·(1 − 0,21) = 7,733%
Réponse
WACC = 7,733%
8.CAPM et WACC
Réponse: WACC = 6,78 %
Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : re = rf + β·(rm − rf). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).
Coût-volume-profit : chaque unité vendue rapporte une marge sur coût variable, le prix moins le coût variable unitaire. Bénéfice = Q·(p − v) − F, où F est le coût fixe. Au seuil de rentabilité le bénéfice est nul, donc Q = F/(p − v).
Bénéfice avant impôt nécessaire
9 000/(1 − 0,25) = €12 000
Unités nécessaires
Q = (30 000 + 12 000)/20 = 2 100
Réponse
Q = 2 100 unités
10.Seuil de rentabilité
Réponse: Q = 2000 unités
Seuil de rentabilité avec une composition des ventes : quand les produits se vendent dans une proportion fixe, utilisez la marge sur coût variable moyenne pondérée : pondérez le p − v de chaque produit par sa part en unités. Unités au seuil de rentabilité = F/(marge pondérée), réparties à nouveau selon la proportion.