Finance d’entreprise : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 10 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Valeur temps de l'argent

Valeur future: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valeur actuelle: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Plusieurs périodes par an: i = r/m, N = m·n
Annuités, valeur actuelle: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Annuités, valeur future: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Méthode

Tracez un axe du temps avec chaque flux de trésorerie et sa date.
Faites correspondre le taux à la période : un taux mensuel pour des versements mensuels.
Utilisez FV = PV·(1 + i)ⁿ pour les montants uniques et les formules d’annuités pour les versements constants.
Vérifiez le signe et l’ordre de grandeur de la réponse.

VAN et TRI

Valeur actuelle nette: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Flux égaux: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Taux de rendement interne: le r pour lequel NPV = 0
Décision: accepter si NPV > 0 (ou IRR > rendement exigé)

Méthode

Listez tous les flux de trésorerie avec leur année ; l’investissement de l’année 0 est négatif.
Actualisez chaque flux : CF_t/(1 + r)^t.
Additionnez-les pour obtenir la VAN. Une valeur positive signifie que le projet rapporte plus que r.
Pour le TRI, trouvez le taux qui annule la VAN, par tâtonnement ou par interpolation.

Prix et rendement des obligations

Prix de l’obligation: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Coupons semestriels: C/2, y/2 et 2n périodes
Rendement courant: C/P
Prix et rendement: rendement en hausse → prix en baisse

Méthode

Trouvez le coupon par période et le rendement par période.
Prix = valeur actuelle des coupons (une annuité) + valeur actuelle de la valeur nominale.
Pour des coupons semestriels, prenez la moitié du coupon, la moitié du rendement et deux fois plus de périodes.
Vérification : si le rendement est supérieur au taux du coupon, le prix est inférieur à la valeur nominale.

CAPM et WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valeur de l’entreprise: V = E + D

Seuil de rentabilité

Marge sur coût variable: CM = p − v
Quantité au seuil de rentabilité: Q_BE = FC/(p − v)
Bénéfice visé: Q = (FC + profit)/(p − v)
Bénéfice: π = (p − v)·Q − FC
Marge de sécurité: (Q − Q_BE)/Q

2Exercices

1.Valeur temps de l'argentMoyen

Tu places €2 000 à un taux nominal de 2 % par an, capitalisés trimestriellement. Calcule la valeur FV du placement après 4 ans.

PV = €2 0002% / 4n = 4

FV = €

2.Valeur temps de l'argentDifficile

Un prêt de €12 000 est remboursé par mensualités égales sur 5 ans. Le taux d'intérêt est de 7,2 % par an, capitalisés mensuellement. Calcule la mensualité A.

P = €12 0007,2% / 12N = 60

A = €

3.VAN et TRIMoyen

Un investissement de €75 000 donne ces flux à la fin des années 1 à 4 : €37 000, €27 000, €30 000, €33 000. Le coût du capital est de 8 %. Calcule la valeur actuelle nette NPV.

r = 8%CF₀ = −75 000CF₁ = 37 000CF₂ = 27 000CF₃ = 30 000CF₄ = 33 000

NPV = €

4.VAN et TRIDifficile

Un projet coûte €20 000 et rapporte €10 000, €13 500 à la fin des années 1 à 2. Calcule son taux de rendement interne IRR en pourcentage.

CF₀ = −20 000CF₁ = 10 000CF₂ = 13 500

IRR = %

5.Prix et rendement des obligationsMoyen

Une obligation de valeur nominale €1 000 verse un coupon annuel de 3% en deux versements semestriels et arrive à échéance dans 9 ans. Le taux de rendement actuariel est de 3,5% par an. Trouvez le prix P de l’obligation.

F = €1 000coupon = 3%YTM = 3,5%n = 9

P = €

6.Prix et rendement des obligationsDifficile

Une obligation cote €1 015 avec un taux de rendement actuariel de 3% (capitalisation annuelle) et une duration de Macaulay de 11,4 ans. Utilisez la duration modifiée pour estimer le nouveau prix P si le rendement augmente de 75 points de base.

P₀ = €1 015y = 3%D = 11,4Δy = +75 bp

P = €

7.CAPM et WACCMoyen

Une entreprise a un ratio dette/capitaux propres (en valeurs de marché) de 1. Son coût des capitaux propres est de 14%, son coût de la dette avant impôt de 5% et le taux d’imposition de 25%. Trouvez le WACC.

D/E = 1r_e = 14%r_d = 5%T = 25%

WACC = %

8.CAPM et WACCDifficile

Une entreprise a 2 500 000 actions à €40,00 chacune et 20 000 obligations cotées €980 chacune. Le coût de la dette avant impôt est de 7% et le taux d’imposition de 30%. Le bêta de l’action est de 0,6, le taux sans risque de 4% et la rentabilité du marché de 9,5%. Trouvez le WACC.

β = 0,6r_f = 4%r_m = 9,5%r_d = 7%T = 30%

WACC = %

9.Seuil de rentabilitéMoyen

Un produit se vend €20 l'unité avec un coût variable de €8 par unité. Les coûts fixes sont de €18 000 par mois. Combien d'unités Q faut-il vendre par mois pour faire un bénéfice de €12 000 ?

F = €18 000p = €20v = €8bénéfice = €12 000

Q = unités

10.Seuil de rentabilitéDifficile

Une entreprise vend deux produits. Le produit A se vend €21 avec un coût variable de €15 ; le produit B se vend €25 avec un coût variable de €10. Ils se vendent dans une proportion fixe de 5 unités de A pour 2 de B. Les coûts fixes s’élèvent à €48 000 par mois. Trouvez le nombre total d’unités Q (A et B ensemble) nécessaire pour atteindre le seuil de rentabilité.

p_A = €21, v_A = €15p_B = €25, v_B = €10A : B = 5 : 2F = €48 000

Q = unités

3Solutions

1.Valeur temps de l'argent

Réponse: FV = 2166 €

Valeur temps de l'argent : l'argent d'aujourd'hui vaut plus que la même somme plus tard, car il peut rapporter des intérêts. Avec un taux i par période, un montant croît en FV = PV·(1 + i)ⁿ. Une suite de paiements égaux (une annuité) s'évalue en additionnant chaque paiement, ce qui donne les formules d'annuités.

Taux et nombre de périodes

i = r/m = 0,02/4 = 0,005

N = m·n = 4·4 = 16

Valeur future

FV = 2 000·(1 + 0,005)¹⁶ = 2 000·1,083 = €2 166,14

Réponse

FV = €2 166,14

2.Valeur temps de l'argent

Réponse: A = 238,7 €

Taux mensuel et nombre de mensualités

i = 0,07200000000000001/12 = 0,006

N = 12·5 = 60

Mensualité

La valeur actuelle de N paiements égaux A vaut A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Égale-la au prêt et résous pour A.

(1 + i)^−N = 0,6984

A = 12 000·0,006/(1 − 0,6984) = €238,75

Réponse

A = €238,75

3.VAN et TRI

Réponse: NPV = 30478 €

Valeur actuelle nette : actualise chaque flux de trésorerie à aujourd'hui avec le taux de rendement exigé r, puis additionne : NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un projet avec NPV > 0 rapporte plus que r et crée de la valeur. Le taux de rendement interne (TRI) est le taux pour lequel NPV = 0.

Valeur actuelle de chaque flux

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0,08)¹ = 37 000/1,08 = 34 259,26

CF₂/(1 + 0,08)² = 27 000/1,166 = 23 148,15

CF₃/(1 + 0,08)³ = 30 000/1,26 = 23 814,97

CF₄/(1 + 0,08)⁴ = 33 000/1,36 = 24 255,99

Additionner

NPV = €30 478,36

Réponse

NPV = €30 478,36

La VAN est positive : le projet rapporte plus que le rendement exigé.

4.VAN et TRI

Réponse: IRR = 10,88 %

Encadrer le TRI

La VAN baisse quand le taux augmente, donc le TRI se trouve entre un taux à VAN positive et un taux à VAN négative.

NPV(10%) = 247,93

NPV(15%) = −1 096,41

Resserrer

L'interpolation linéaire donne une première estimation ; la répéter (ou utiliser la fonction TRI d'une calculatrice) donne le taux exact.

IRR ≈ 10 + 5·247,93/(247,93 − (−1 096,41)) = 10,92%

exact: NPV(10,88%) = 0 → IRR = 10,88%

Réponse

IRR = 10,88%

5.Prix et rendement des obligations

Réponse: P = 961,7 €

Prix d’une obligation : le prix d’une obligation est la valeur actuelle de ses flux, actualisés au taux de rendement actuariel (YTM) : les coupons forment une annuité et la valeur nominale est remboursée à l’échéance. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quand le rendement est supérieur au taux du coupon, l’obligation cote en dessous du pair, et inversement.

Par période

C = €15,00, i = 0,0175, N = 18

Valeur actuelle des coupons

€15,00·(1 − 0,7318)/0,0175 = €229,90

Valeur actuelle du nominal

€1 000·0,7318 = €731,78

Prix

P = €961,68

Réponse

P = €961,68

Le rendement est supérieur au taux du coupon, donc l’obligation se vend avec une décote (sous le pair).

6.Prix et rendement des obligations

Réponse: P = 930,7 €

Duration : la duration de Macaulay est la date moyenne pondérée à laquelle une obligation verse ses flux, avec les valeurs actuelles des flux comme poids : D = Σ t·PVₜ/P. La duration modifiée D/(1 + y) estime la variation en pourcentage du prix pour une petite variation du rendement : %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Duration modifiée

D_mod = 11,4/1,03 = 11,07

Variation de prix estimée

%ΔP ≈ −11,07·(0,0075) = −8,301%

P ≈ 1015·(1 − 0,08301) = €930,75

Réponse

P = €930,75

La duration est une estimation linéaire ; pour de fortes variations de rendement, la convexité rend le vrai prix un peu plus élevé.

7.CAPM et WACC

Réponse: WACC = 8,875 %

Coût du capital : le CAPM (MEDAF) donne la rentabilité exigée par les actionnaires : r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Le coût moyen pondéré du capital combine capitaux propres et dette selon leurs valeurs de marché : WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), avec V = E + D. Les intérêts sont fiscalement déductibles, d’où le facteur (1 − T).

Poids à partir de D/E

E/V = 1/(1 + 1) = 0,5

D/V = 1/(1 + 1) = 0,5

WACC

WACC = 0,5·14% + 0,5·5%·(1 − 0,25) = 8,875%

Réponse

WACC = 8,875%

8.CAPM et WACC

Réponse: WACC = 6,907 %

Valeurs de marché

E = 2 500 000·€40,00 = €100 000 000

D = 20 000·€980 = €19 600 000

Coût des capitaux propres (CAPM)

r_e = 4% + 0,6·5,5% = 7,3%

Pondérations

V = €119 600 000, E/V = 0,8361, D/V = 0,1639

WACC

WACC = 0,8361·7,3% + 0,1639·7%·(1 − 0,3) = 6,907%

Réponse

WACC = 6,907%

9.Seuil de rentabilité

Réponse: Q = 2500 unités

Coût-volume-profit : chaque unité vendue rapporte une marge sur coût variable, le prix moins le coût variable unitaire. Bénéfice = Q·(p − v) − F, où F est le coût fixe. Au seuil de rentabilité le bénéfice est nul, donc Q = F/(p − v).

Marge unitaire sur coût variable

p − v = 20 − 8 = €12

Unités pour le bénéfice visé

Q = (F + bénéfice)/(p − v) = (18 000 + 12 000)/12 = 2 500

Réponse

Q = 2 500 unités

10.Seuil de rentabilité

Réponse: Q = 5600 unités

Seuil de rentabilité avec une composition des ventes : quand les produits se vendent dans une proportion fixe, utilisez la marge sur coût variable moyenne pondérée : pondérez le p − v de chaque produit par sa part en unités. Unités au seuil de rentabilité = F/(marge pondérée), réparties à nouveau selon la proportion.

Marges sur coût variable

cm_A = €6, cm_B = €15

Marge sur coût variable pondérée

(5·6 + 2·15)/7 = €8,57

Unités au seuil de rentabilité

Q = 48 000/8,571 = 5 600

A: 4 000, B: 1 600

Réponse

Q = 5 600 unités

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