Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Avec des pièces de 1, 3 et 4 et un montant de 6, combien de pièces utilise la méthode gloutonne « la plus grosse pièce d'abord », comparée à l'optimum ?

  1. ALe glouton utilise 4 pièces ; l'optimum est 3
  2. BLe glouton utilise 2 pièces ; l'optimum est 2
  3. CLe glouton utilise 3 pièces ; l'optimum est 3
  4. DLe glouton utilise 3 pièces ; l'optimum est 2
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Le problème du sac à dos 0/1 résolu par programmation dynamique prend un temps O(nW). Pourquoi dit-on qu'il est pseudo-polynomial ?

  1. AParce que n est toujours petit
  2. BParce qu'il ne fonctionne que pour W = 0
  3. CW est un nombre, donc le temps est exponentiel en le nombre de bits utilisés pour écrire W
  4. DParce que l'algorithme est probabiliste et que son temps d'exécution varie à chaque entrée
3.Structures de donnéesMoyen

Les arbres AVL et les arbres rouge-noir garantissent :

  1. AUne hauteur en O(log n) grâce au rééquilibrage
  2. BQu'aucun nœud n'a deux enfants
  3. CQue les clés sont stockées dans l'ordre d'insertion
  4. DUne recherche en temps constant dans tous les cas
4.Structures de donnéesDifficile

Un nœud AVL est déséquilibré parce que le sous-arbre droit de son enfant gauche est devenu trop haut (cas gauche-droite). Quelle correction applique-t-on ?

  1. AUne rotation simple à gauche sur le nœud
  2. BUne rotation à gauche sur l'enfant gauche, puis une rotation à droite sur le nœud
  3. CUne rotation simple à droite sur le nœud
  4. DUne rotation à droite sur l'enfant gauche, puis une rotation à gauche sur le nœud
5.Théorie des graphesMoyen

Combien de circuits hamiltoniens différents H le graphe complet K5 a-t-il ? Les circuits qui ne diffèrent que par le sommet de départ ou le sens comptent comme un seul.

K5
H =
6.Théorie des graphesDifficile
1112113861012ABCDEF

L’algorithme de Dijkstra part de A. Cliquez sur le sommet qui est fixé (rendu définitif) au tour 4 ; A lui-même est le tour 1.

départ : Atour 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: D · Le glouton utilise 3 pièces ; l'optimum est 2

Pourquoi c'est la réponse

Le glouton prend 4 + 1 + 1 = 3 pièces, mais 3 + 3 n'en utilise que 2 : le glouton n'est pas optimal pour ce système de pièces, contrairement à la programmation dynamique.

Réponse

D · Le glouton utilise 3 pièces ; l'optimum est 2
2.Algorithmes et complexité

Réponse: C · W est un nombre, donc le temps est exponentiel en le nombre de bits utilisés pour écrire W

Pourquoi c'est la réponse

Le temps d'exécution est polynomial en la valeur de W mais exponentiel en sa longueur (log W bits) ; le sac à dos 0/1 est NP-complet.

Réponse

C · W est un nombre, donc le temps est exponentiel en le nombre de bits utilisés pour écrire W
3.Structures de données

Réponse: A · Une hauteur en O(log n) grâce au rééquilibrage

Pourquoi c'est la réponse

Les arbres auto-équilibrés maintiennent une hauteur logarithmique, donc la recherche, l'insertion et la suppression sont en O(log n) dans le pire des cas.

Réponse

A · Une hauteur en O(log n) grâce au rééquilibrage
4.Structures de données

Réponse: B · Une rotation à gauche sur l'enfant gauche, puis une rotation à droite sur le nœud

Pourquoi c'est la réponse

La première rotation transforme le cas gauche-droite en cas gauche-gauche, qu'une rotation à droite sur le nœud déséquilibré corrige ensuite.

Réponse

B · Une rotation à gauche sur l'enfant gauche, puis une rotation à droite sur le nœud
5.Théorie des graphes

Réponse: H = 12

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Compter

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

Réponse

H = 12
6.Théorie des graphes

Réponse: E

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Dijkstra tour par tour

1. A (0): B: 11, C: 12
2. B (11): E: 23
3. C (12): E: 15
4. E (15): D: 23, F: 25
5. D (23)
6. F (25)

tour 4

E

Réponse

E

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