Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main: Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Graphe régulier: |E| = n·k/2
Arbre et forêt: |E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans K_n: (n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L: (Mᴸ)_ij

Méthode

Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Environ combien de comparaisons la recherche dichotomique nécessite-t-elle dans le pire cas sur un tableau trié de 1,000,000 d'éléments ?

AEnviron 500,000
BEnviron 20
CEnviron 1,000
DEnviron 100

2.Algorithmes et complexitéDifficile

Quel énoncé sur la sélection du k-ième plus petit élément d'un tableau non trié est correct ?

ALa sélection exige toujours Ω(n log n) car elle nécessite un tri
BQuickselect s'exécute en O(log n) dans le pire cas, car il ne récurse que d'un seul côté du pivot
CLa sélection n'est possible qu'en O(n²)
DQuickselect s'exécute en O(n) en espérance, et la médiane des médianes garantit O(n) dans le pire cas

3.Structures de donnéesMoyen

Dans un tas binaire stocké dans un tableau commençant à l'indice 0, où se trouve le parent du nœud d'indice i ?

AÀ l'indice ⌊(i − 1) / 2⌋
BÀ l'indice ⌊i / 2⌋ + 1
CÀ l'indice i − 1
DÀ l'indice 2i + 1

4.Structures de donnéesDifficile

La suppression d'un nœud ayant deux enfants dans un arbre binaire de recherche se fait généralement en :

ASupprimant tout le sous-arbre
BLe remplaçant par son successeur infixe (ou prédécesseur) puis en supprimant ce nœud
CReconstruisant de zéro le sous-arbre situé en dessous et en réinsérant toutes les clés qu'il contenait
DL'échangeant avec la racine

5.Théorie des graphesMoyen

Le graphe connexe a-t-il un circuit eulérien, un chemin eulérien qui n’est pas un circuit, ou ni l’un ni l’autre ? Cliquez sur votre réponse.

|V| = 7|E| = 8

1Circuit eulérien
2Chemin eulérien, pas de circuit
3ni l’une ni l’autre

6.Théorie des graphesDifficile

Utilisez l’algorithme de Dijkstra pour trouver la longueur d(F) du plus court chemin de A à F dans le graphe pondéré.

départ : Aarrivée : F

d(F) =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: B · Environ 20

Pourquoi c'est la réponse

2²⁰ ≈ 1,048,576 : après environ 20 divisions par deux, il ne reste qu'un élément.

Réponse

B · Environ 20

2.Algorithmes et complexité

Réponse: D · Quickselect s'exécute en O(n) en espérance, et la médiane des médianes garantit O(n) dans le pire cas

Pourquoi c'est la réponse

Le travail espéré de quickselect vaut n + n/2 + n/4 + ... = O(n) avec des pivots aléatoires ; choisir le pivot comme médiane des médianes rend le pire cas linéaire.

Réponse

D · Quickselect s'exécute en O(n) en espérance, et la médiane des médianes garantit O(n) dans le pire cas

3.Structures de données

Réponse: A · À l'indice ⌊(i − 1) / 2⌋

Pourquoi c'est la réponse

Les enfants de i sont en 2i + 1 et 2i + 2, donc le parent de i est en ⌊(i − 1) / 2⌋ ; avec une indexation à partir de 1, il est en ⌊i / 2⌋.

Réponse

A · À l'indice ⌊(i − 1) / 2⌋

4.Structures de données

Réponse: B · Le remplaçant par son successeur infixe (ou prédécesseur) puis en supprimant ce nœud

Pourquoi c'est la réponse

Le successeur infixe a au plus un enfant, il peut donc être facilement supprimé après avoir copié sa clé dans le nœud à supprimer.

Réponse

B · Le remplaçant par son successeur infixe (ou prédécesseur) puis en supprimant ce nœud

5.Théorie des graphes

Réponse: ni l’une ni l’autre

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; K_n en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Degrés

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 1, deg(G) = 3

Sommets impairs

D, E, F, G → 4

ni l’une ni l’autre

Réponse

ni l’une ni l’autre

6.Théorie des graphes

Réponse: d(F) = 6

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Dijkstra tour par tour

Chaque ligne : le sommet fixé, sa distance définitive, et les voisins dont la distance s’améliore.

A (0): B: 3, C: 8

B (3): D: 4, G: 8

D (4): E: 16, F: 6

F (6)

C (8)

G (8)

E (16)

Plus court chemin

A → B → D → F

d(F) = 6

Réponse

d(F) = 6

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