Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

La complexité temporelle de la version récursive naïve de Fibonacci (fib(n) = fib(n−1) + fib(n−2)) est :

  1. ALinéaire
  2. BExponentielle
  3. CLogarithmique
  4. DConstante
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Le tri par insertion s'exécute en O(n) sur une entrée triée. Cela contredit-il la borne inférieure Ω(n log n) des tris par comparaisons ?

  1. ANon, car le tri par insertion n'est pas un tri par comparaisons
  2. BOui, la borne inférieure est donc fausse
  3. COui, mais seulement pour les tableaux de moins de 100 éléments
  4. DNon, la borne inférieure s'applique au pire cas sur toutes les entrées, pas à chaque entrée
3.Structures de donnéesMoyen

Un réseau routier compte 100,000 carrefours, chacun relié à environ 4 autres. Quelle représentation est la plus adaptée ?

  1. AUn unique tableau trié de sommets
  2. BUne liste d'adjacence
  3. CUn tas binaire d'arêtes
  4. DUne matrice d'adjacence
4.Structures de donnéesDifficile

Quelle propriété un arbre rouge-noir doit-il respecter ?

  1. ATout nœud rouge doit avoir des enfants rouges, si bien que les nœuds rouges forment toujours des chaînes ininterrompues jusqu'aux feuilles
  2. BTout chemin d'un nœud vers ses feuilles descendantes contient le même nombre de nœuds noirs
  3. CLa racine doit être rouge
  4. DChaque nœud doit être rouge
5.Théorie des graphesMoyen

Combien de circuits hamiltoniens différents H le graphe complet K4 a-t-il ? Les circuits qui ne diffèrent que par le sommet de départ ou le sens comptent comme un seul.

K4
H =
6.Théorie des graphesDifficile
23916810120714ABCDEFG

Trouvez le poids total W d’un arbre couvrant minimal du graphe pondéré.

|V| = 7|E| = 10
W =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: B · Exponentielle

Pourquoi c'est la réponse

L'arbre des appels croît à peu près comme φⁿ (environ 1,618ⁿ). La mémoïsation la réduit à O(n).

Réponse

B · Exponentielle
2.Algorithmes et complexité

Réponse: D · Non, la borne inférieure s'applique au pire cas sur toutes les entrées, pas à chaque entrée

Pourquoi c'est la réponse

La borne dit que tout tri par comparaisons nécessite environ n log n comparaisons sur une certaine entrée de taille n ; des entrées particulières peuvent être bien plus rapides.

Réponse

D · Non, la borne inférieure s'applique au pire cas sur toutes les entrées, pas à chaque entrée
3.Structures de données

Réponse: B · Une liste d'adjacence

Pourquoi c'est la réponse

Une matrice nécessiterait 1010 cases, presque toutes vides ; une liste d'adjacence ne stocke qu'environ 400,000 entrées d'arêtes.

Réponse

B · Une liste d'adjacence
4.Structures de données

Réponse: B · Tout chemin d'un nœud vers ses feuilles descendantes contient le même nombre de nœuds noirs

Pourquoi c'est la réponse

Règles rouge-noir : les nœuds sont rouges ou noirs, la racine est noire, les nœuds rouges ont des enfants noirs et tous les chemins ont la même hauteur noire, ce qui maintient la hauteur ≤ 2 log₂(n + 1).

Réponse

B · Tout chemin d'un nœud vers ses feuilles descendantes contient le même nombre de nœuds noirs
5.Théorie des graphes

Réponse: H = 3

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Compter

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

Réponse

H = 3
6.Théorie des graphes

Réponse: W = 31

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Algorithme de Kruskal

GB (1): prise
AB (2): prise
AC (3): prise
GD (7): prise
DF (8): prise
BD (9): sautée, ferme un cycle
EF (10): prise

Poids total

W = 1 + 2 + 3 + 7 + 8 + 10 = 31

Réponse

W = 31

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