Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Quelle est la solution de la récurrence T(n) = T(n/2) + O(1) ?

  1. AO(1)
  2. BO(n)
  3. CO(log n)
  4. DO(n log n)
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Quelle affirmation concernant P et NP est correcte ?

  1. ANP signifie « non polynomial »
  2. BLes solutions des problèmes NP ne peuvent pas être vérifiées rapidement
  3. CTout problème de P appartient aussi à NP
  4. DIl a été démontré que P ≠ NP
3.Structures de donnéesMoyen

Dans une table de hachage à adressage ouvert, quel est le facteur de charge maximal possible ?

  1. A0,5
  2. B2
  3. CIl n'y a pas de maximum
  4. D1
4.Structures de donnéesDifficile

Pourquoi les bases de données utilisent-elles souvent des arbres B+ plutôt que de simples B-arbres pour leurs index ?

  1. ALes arbres B+ n'ont pas besoin d'être équilibrés
  2. BLes arbres B+ ne stockent les données que dans la racine
  3. CTous les enregistrements sont dans des feuilles chaînées, ce qui rend les parcours d'intervalle efficaces
  4. DLes arbres B+ utilisent des nœuds internes binaires, ce qui réduit le nombre de lectures sur disque
5.Théorie des graphesMoyen

Un graphe connexe a 10 sommets et 13 arêtes. Combien d’arêtes k faut-il retirer pour obtenir un arbre couvrant ?

|V| = 10|E| = 13
k =
6.Théorie des graphesDifficile
132415191420129ABCDEFG

L’algorithme de Prim construit un arbre couvrant minimal en partant du sommet G. Cliquez sur l’arête qu’il ajoute en numéro 3.

départ : Gk = 3
  1. 1arête AB
  2. 2arête BC
  3. 3arête CE
  4. 4arête DE
  5. 5arête DF
  6. 6arête EF
  7. 7arête GB
  8. 8arête GC
  9. 9arête GE

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: C · O(log n)

Pourquoi c'est la réponse

Le problème est divisé par deux à chaque étape avec un travail constant par étape : il y a donc environ log₂ n étapes.

Réponse

C · O(log n)
2.Algorithmes et complexité

Réponse: C · Tout problème de P appartient aussi à NP

Pourquoi c'est la réponse

P ⊆ NP : si vous pouvez résoudre un problème rapidement, vous pouvez vérifier une solution rapidement. La question P = NP reste ouverte.

Réponse

C · Tout problème de P appartient aussi à NP
3.Structures de données

Réponse: D · 1

Pourquoi c'est la réponse

Avec l'adressage ouvert, toutes les clés sont stockées dans la table elle-même, donc n ne peut pas dépasser m ; le chaînage séparé peut avoir un facteur de charge supérieur à 1.

Réponse

D · 1
4.Structures de données

Réponse: C · Tous les enregistrements sont dans des feuilles chaînées, ce qui rend les parcours d'intervalle efficaces

Pourquoi c'est la réponse

Dans un arbre B+, les nœuds internes servent uniquement à guider la recherche et les feuilles sont chaînées dans l'ordre des clés ; une requête par intervalle trouve la première clé puis parcourt les feuilles.

Réponse

C · Tous les enregistrements sont dans des feuilles chaînées, ce qui rend les parcours d'intervalle efficaces
5.Théorie des graphes

Réponse: k = 4

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Arêtes d’un arbre couvrant

10 − 1 = 9

Arêtes à retirer

k = 13 − 9 = 4

Réponse

k = 4
6.Théorie des graphes

Réponse: arête BC

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Algorithme de Prim

1. GE (9)
2. CE (4)
3. BC (2)
4. AB (13)
5. EF (14)
6. DE (15)

numéro de l’arête 3

BC

Réponse

arête BC

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