Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Quelle est la complexité temporelle du calcul du n-ième nombre de Fibonacci avec une table remplie de bas en haut ?

  1. AO(n²)
  2. BO(log n)
  3. CO(2ⁿ)
  4. DO(n)
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Pour montrer qu'un nouveau problème X est NP-difficile, que faut-il faire ?

  1. AMontrer que X peut être vérifié en temps polynomial
  2. BRéduire un problème NP-difficile connu à X en temps polynomial
  3. CRéduire X à un problème NP-difficile connu en temps polynomial
  4. DMontrer que X n'a pas d'algorithme polynomial pour les petites entrées
3.Structures de donnéesMoyen

Dans un tas binaire min stocké dans un tableau (indices commençant à 0), les enfants du nœud d'indice i se trouvent aux indices :

  1. Ai/2 et i/2 + 1
  2. B2i + 1 et 2i + 2
  3. C2i et 2i + 1
  4. Di + 1 et i + 2
4.Structures de donnéesDifficile

Quel est le principal avantage d'une liste à enjambements (skip list) par rapport à une liste chaînée triée ?

  1. AUne recherche en O(log n) en moyenne grâce à plusieurs niveaux de pointeurs avant
  2. BElle stocke les clés sans ordre
  3. CElle n'utilise aucune mémoire supplémentaire
  4. DUne recherche en O(1) garantie, car chaque nœud stocke un pointeur vers tous les autres nœuds
5.Théorie des graphesMoyen
ABCDEFCircuit eulérienChemin eulérien, pas de circuitni l’une ni l’autre

Le graphe connexe a-t-il un circuit eulérien, un chemin eulérien qui n’est pas un circuit, ou ni l’un ni l’autre ? Cliquez sur votre réponse.

|V| = 6|E| = 8
  1. 1Circuit eulérien
  2. 2Chemin eulérien, pas de circuit
  3. 3ni l’une ni l’autre
6.Théorie des graphesDifficile
ABCDEF

Combien de marches de longueur 3 vont de D à C ? Une marche peut répéter des sommets et des arêtes. Appelez ce nombre N.

M = matrice d’adjacenceL = 3
N =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: D · O(n)

Pourquoi c'est la réponse

Remplir la table de 0 à n demande une addition par entrée : le travail est linéaire au lieu d'exponentiel.

Réponse

D · O(n)
2.Algorithmes et complexité

Réponse: B · Réduire un problème NP-difficile connu à X en temps polynomial

Pourquoi c'est la réponse

Si un problème difficile connu peut être transformé efficacement en X, un algorithme rapide pour X résoudrait aussi le problème connu.

Réponse

B · Réduire un problème NP-difficile connu à X en temps polynomial
3.Structures de données

Réponse: B · 2i + 1 et 2i + 2

Pourquoi c'est la réponse

Pour des tableaux indexés à partir de 0, l'enfant gauche est en 2i + 1, l'enfant droit en 2i + 2 et le parent en ⌊(i − 1)/2⌋.

Réponse

B · 2i + 1 et 2i + 2
4.Structures de données

Réponse: A · Une recherche en O(log n) en moyenne grâce à plusieurs niveaux de pointeurs avant

Pourquoi c'est la réponse

Des niveaux aléatoires permettent aux recherches de sauter de nombreux nœuds, ce qui donne en moyenne O(log n) pour la recherche, l'insertion et la suppression.

Réponse

A · Une recherche en O(log n) en moyenne grâce à plusieurs niveaux de pointeurs avant
5.Théorie des graphes

Réponse: ni l’une ni l’autre

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Degrés

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 1

Sommets impairs

C, D, E, F → 4
ni l’une ni l’autre

Réponse

ni l’une ni l’autre
6.Théorie des graphes

Réponse: N = 3

Degrés : le degré d’un sommet est le nombre d’arêtes qui y aboutissent. Chaque arête a deux extrémités, donc les degrés totalisent deux fois le nombre d’arêtes : Σ deg(v) = 2|E| (le lemme des poignées de main). Le nombre de sommets de degré impair est donc pair. Kn a n(n − 1)/2 arêtes, un graphe k-régulier à n sommets en a nk/2, et un arbre à n sommets a n − 1 arêtes.

Matrice d’adjacence

A: 0 0 1 0 0 0
B: 0 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Un pas de plus

(M³)DC = 0·1 + 1·1 + 2·0 + 3·0 + 2·1 + 1·0 = 3

Réponse

N = 3

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