Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main: Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Graphe régulier: |E| = n·k/2
Arbre et forêt: |E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans K_n: (n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L: (Mᴸ)_ij

Méthode

Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Pourquoi omet-on généralement la base du logarithme dans la notation grand O, comme dans O(log n) ?

ALes logarithmes sont toujours arrondis à l'entier
BDes logarithmes de bases différentes ne diffèrent que d'un facteur constant
CLa base n'a d'importance que pour n petit
DTous les logarithmes en informatique sont en base 10, elle est donc implicite

2.Algorithmes et complexitéDifficile

Le tri topologique n'est possible que pour :

ALes graphes non orientés
BLes graphes à poids négatifs
CLes graphes orientés acycliques (DAG)
DLes graphes complets

3.Structures de donnéesMoyen

Quelle structure de données un programme en cours d'exécution utilise-t-il pour suivre les appels de fonction actifs et leurs variables locales ?

AUne table de hachage des fonctions
BUn arbre binaire de recherche de cadres
CLa pile d'appels
DLa file de la mémoire du tas

4.Structures de donnéesDifficile

Pourquoi un serveur pourrait-il choisir sa fonction de hachage au hasard dans une famille universelle ?

APour garantir que deux clés n'entrent jamais en collision, quelles que soient les clés envoyées par un attaquant
BPour supprimer le besoin de redimensionner la table
CPour que la table de hachage soit triée
DPour rendre très improbable qu'un attaquant puisse choisir de nombreuses clés qui entrent toutes en collision

5.Théorie des graphesMoyen

Combien de circuits hamiltoniens différents H le graphe complet K₆ a-t-il ? Les circuits qui ne diffèrent que par le sommet de départ ou le sens comptent comme un seul.

K₆

H =

6.Théorie des graphesDifficile

Utilisez l’algorithme de Dijkstra pour trouver la longueur d(F) du plus court chemin de A à F dans le graphe pondéré.

départ : Aarrivée : F

d(F) =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: B · Des logarithmes de bases différentes ne diffèrent que d'un facteur constant

Pourquoi c'est la réponse

Changer de base multiplie le logarithme par une constante, et le grand O ignore les facteurs constants.

Réponse

B · Des logarithmes de bases différentes ne diffèrent que d'un facteur constant

2.Algorithmes et complexité

Réponse: C · Les graphes orientés acycliques (DAG)

Pourquoi c'est la réponse

Un ordre topologique existe si et seulement si le graphe orienté ne contient pas de cycle ; on peut le trouver en O(V + E) avec DFS ou l'algorithme de Kahn.

Réponse

C · Les graphes orientés acycliques (DAG)

3.Structures de données

Réponse: C · La pile d'appels

Pourquoi c'est la réponse

Chaque appel empile un cadre de pile (stack frame) et chaque retour le dépile, c'est pourquoi l'appel le plus récent se termine en premier.

Réponse

C · La pile d'appels

4.Structures de données

Réponse: D · Pour rendre très improbable qu'un attaquant puisse choisir de nombreuses clés qui entrent toutes en collision

Pourquoi c'est la réponse

Avec le hachage universel, le nombre attendu de collisions est faible pour tout ensemble de clés, puisque l'attaquant ne sait pas quelle fonction a été choisie.

Réponse

D · Pour rendre très improbable qu'un attaquant puisse choisir de nombreuses clés qui entrent toutes en collision

5.Théorie des graphes

Réponse: H = 60

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; K_n en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Compter

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

Réponse

H = 60

6.Théorie des graphes

Réponse: d(F) = 23

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Dijkstra tour par tour

Chaque ligne : le sommet fixé, sa distance définitive, et les voisins dont la distance s’améliore.

A (0): B: 12, C: 4

C (4): B: 6, E: 10, G: 12

B (6)

E (10): D: 23, F: 23

G (12)

D (23)

F (23)

Plus court chemin

A → C → E → F

d(F) = 23

Réponse

d(F) = 23

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