Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Un algorithme glouton :

  1. AN'utilise que la récursivité
  2. BEssaie toutes les solutions possibles
  3. CFait le meilleur choix local à chaque étape
  4. DDonne toujours la solution optimale
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Pourquoi toute recherche par comparaisons dans un tableau trié nécessite-t-elle Ω(log n) comparaisons dans le pire cas ?

  1. AUn arbre de décision à n issues possibles doit avoir une profondeur d'au moins log₂ n
  2. BLa recherche dichotomique est le seul algorithme possible, et elle nécessite log₂ n comparaisons
  3. CChaque élément doit être comparé au moins une fois
  4. DChaque comparaison prend un temps logarithmique
3.Structures de donnéesMoyen

Les clés 50, 30, 70, 20, 40 sont insérées dans cet ordre dans un arbre binaire de recherche vide. Quel est l'enfant gauche de 30 ?

  1. A20
  2. B40
  3. C70
  4. D50
4.Structures de donnéesDifficile

Que fait un arbre splay (splay tree) après chaque accès ?

  1. AIl recolorie les nœuds du chemin de recherche
  2. BIl déplace le nœud accédé vers une feuille
  3. CIl fait remonter le nœud accédé jusqu'à la racine par des rotations
  4. DIl reconstruit tout l'arbre sous forme équilibrée
5.Théorie des graphesMoyen

Un arbre a 2 sommets de degré 5, et tous ses autres sommets sont des feuilles (degré 1). Combien de feuilles L a-t-il ?

2 × deg 5
L =
6.Théorie des graphesDifficile
1031658110ABCDEF

L’algorithme de Dijkstra part de A. Cliquez sur le sommet qui est fixé (rendu définitif) au tour 4 ; A lui-même est le tour 1.

départ : Atour 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: C · Fait le meilleur choix local à chaque étape

Pourquoi c'est la réponse

Les algorithmes gloutons sont rapides et optimaux pour certains problèmes (par ex. Dijkstra, codage de Huffman), mais pas en général (par ex. le rendu de monnaie avec certains systèmes de pièces).

Réponse

C · Fait le meilleur choix local à chaque étape
2.Algorithmes et complexité

Réponse: A · Un arbre de décision à n issues possibles doit avoir une profondeur d'au moins log₂ n

Pourquoi c'est la réponse

Chaque comparaison divise au mieux par deux l'ensemble des possibilités restantes ; distinguer n positions nécessite donc au moins log₂ n comparaisons.

Réponse

A · Un arbre de décision à n issues possibles doit avoir une profondeur d'au moins log₂ n
3.Structures de données

Réponse: A · 20

Pourquoi c'est la réponse

20 est plus petit que 50 et que 30, il devient donc l'enfant gauche de 30 ; 40 devient son enfant droit.

Réponse

A · 20
4.Structures de données

Réponse: C · Il fait remonter le nœud accédé jusqu'à la racine par des rotations

Pourquoi c'est la réponse

Le splaying déplace le nœud accédé vers la racine par des rotations ; une opération isolée peut coûter O(n), mais le coût amorti est O(log n).

Réponse

C · Il fait remonter le nœud accédé jusqu'à la racine par des rotations
5.Théorie des graphes

Réponse: L = 8

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Lemme des poignées de main pour un arbre

L + 10 = 2(L + 2) − 2
L = 8

Réponse

L = 8

Raccourci : L = 2 + Σ (d − 2) sur les sommets de degré d ≥ 3.

6.Théorie des graphes

Réponse: E

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Dijkstra tour par tour

1. A (0): B: 10, C: 3
2. C (3): B: 4, E: 8
3. B (4): D: 10
4. E (8)
5. D (10): F: 11
6. F (11)

tour 4

E

Réponse

E

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