Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Dans le problème de sélection d'activités, quelle règle gloutonne donne toujours un nombre maximal d'activités sans chevauchement ?

  1. AChoisir d'abord l'activité la plus courte
  2. BChoisir l'activité qui se termine le plus tôt, puis recommencer avec les activités compatibles
  3. CChoisir l'activité qui commence le plus tôt
  4. DChoisir d'abord l'activité ayant le moins de chevauchements, puis recommencer avec les activités compatibles
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Quel énoncé sur la sélection du k-ième plus petit élément d'un tableau non trié est correct ?

  1. ALa sélection exige toujours Ω(n log n) car elle nécessite un tri
  2. BLa sélection n'est possible qu'en O(n²)
  3. CQuickselect s'exécute en O(n) en espérance, et la médiane des médianes garantit O(n) dans le pire cas
  4. DQuickselect s'exécute en O(log n) dans le pire cas, car il ne récurse que d'un seul côté du pivot
3.Structures de donnéesMoyen

Comment trouve-t-on la clé minimale dans un arbre binaire de recherche ?

  1. AOn regarde uniquement la racine
  2. BOn suit les enfants gauches depuis la racine jusqu'à ce qu'il n'y en ait plus
  3. COn suit les enfants droits depuis la racine jusqu'à ce qu'il n'y en ait plus
  4. DOn visite toutes les feuilles et on les compare
4.Structures de donnéesDifficile

Pourquoi un serveur pourrait-il choisir sa fonction de hachage au hasard dans une famille universelle ?

  1. APour garantir que deux clés n'entrent jamais en collision, quelles que soient les clés envoyées par un attaquant
  2. BPour rendre très improbable qu'un attaquant puisse choisir de nombreuses clés qui entrent toutes en collision
  3. CPour que la table de hachage soit triée
  4. DPour supprimer le besoin de redimensionner la table
5.Théorie des graphesMoyen
ABCDEFCircuit eulérienChemin eulérien, pas de circuitni l’une ni l’autre

Le graphe connexe a-t-il un circuit eulérien, un chemin eulérien qui n’est pas un circuit, ou ni l’un ni l’autre ? Cliquez sur votre réponse.

|V| = 6|E| = 7
  1. 1Circuit eulérien
  2. 2Chemin eulérien, pas de circuit
  3. 3ni l’une ni l’autre
6.Théorie des graphesDifficile
ABCDE

Combien de marches fermées de longueur 2 partent de E et y reviennent ? Une marche peut répéter des sommets et des arêtes. Appelez ce nombre N.

M = matrice d’adjacenceL = 2
N =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: B · Choisir l'activité qui se termine le plus tôt, puis recommencer avec les activités compatibles

Pourquoi c'est la réponse

On peut prouver par un argument d'échange que choisir la fin la plus précoce est optimal ; les autres règles admettent des contre-exemples.

Réponse

B · Choisir l'activité qui se termine le plus tôt, puis recommencer avec les activités compatibles
2.Algorithmes et complexité

Réponse: C · Quickselect s'exécute en O(n) en espérance, et la médiane des médianes garantit O(n) dans le pire cas

Pourquoi c'est la réponse

Le travail espéré de quickselect vaut n + n/2 + n/4 + ... = O(n) avec des pivots aléatoires ; choisir le pivot comme médiane des médianes rend le pire cas linéaire.

Réponse

C · Quickselect s'exécute en O(n) en espérance, et la médiane des médianes garantit O(n) dans le pire cas
3.Structures de données

Réponse: B · On suit les enfants gauches depuis la racine jusqu'à ce qu'il n'y en ait plus

Pourquoi c'est la réponse

Le nœud le plus à gauche n'a aucune clé plus petite dans l'arbre, c'est donc le minimum ; le coût est proportionnel à la hauteur.

Réponse

B · On suit les enfants gauches depuis la racine jusqu'à ce qu'il n'y en ait plus
4.Structures de données

Réponse: B · Pour rendre très improbable qu'un attaquant puisse choisir de nombreuses clés qui entrent toutes en collision

Pourquoi c'est la réponse

Avec le hachage universel, le nombre attendu de collisions est faible pour tout ensemble de clés, puisque l'attaquant ne sait pas quelle fonction a été choisie.

Réponse

B · Pour rendre très improbable qu'un attaquant puisse choisir de nombreuses clés qui entrent toutes en collision
5.Théorie des graphes

Réponse: ni l’une ni l’autre

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Degrés

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 1, deg(E) = 3, deg(F) = 2

Sommets impairs

B, C, D, E → 4
ni l’une ni l’autre

Réponse

ni l’une ni l’autre
6.Théorie des graphes

Réponse: N = 3

Degrés : le degré d’un sommet est le nombre d’arêtes qui y aboutissent. Chaque arête a deux extrémités, donc les degrés totalisent deux fois le nombre d’arêtes : Σ deg(v) = 2|E| (le lemme des poignées de main). Le nombre de sommets de degré impair est donc pair. Kn a n(n − 1)/2 arêtes, un graphe k-régulier à n sommets en a nk/2, et un arbre à n sommets a n − 1 arêtes.

Matrice d’adjacence

A: 0 0 1 0 0
B: 0 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Voisins communs

(M²)EE = 0·0 + 1·1 + 1·1 + 1·1 + 0·0 = 3

Réponse

N = 3

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