Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Quel énoncé sur une fonction récursive sans cas de base atteignable est correct ?

  1. AElle s'exécute en temps O(1)
  2. BLe compilateur la transforme toujours en une boucle qui se termine sans danger
  3. CElle continue de s'appeler jusqu'au débordement de la pile d'appels
  4. DElle renvoie automatiquement 0
2.Algorithmes et complexitéDifficile

L'algorithme de Strassen multiplie des matrices en utilisant 7 au lieu de 8 multiplications récursives de blocs de taille moitié. Quel est son temps d'exécution ?

  1. AΘ(n³)
  2. BΘ(nlog₂ 7), soit environ n2,81
  3. CΘ(n² log n)
  4. DΘ(n2)
3.Structures de donnéesMoyen

Un arbre binaire a pour racine 1, avec 2 comme enfant gauche et 3 comme enfant droit ; le nœud 2 a pour enfants 4 (gauche) et 5 (droit). Quel est le parcours préfixe ?

  1. A4 5 2 3 1
  2. B1 2 3 4 5
  3. C4 2 5 1 3
  4. D1 2 4 5 3
4.Structures de donnéesDifficile

Dans l'algorithme de Kruskal pour l'arbre couvrant de poids minimal, à quoi sert la structure union-find ?

  1. AÀ vérifier si les deux extrémités d'une arête sont déjà reliées
  2. BÀ stocker la distance actuelle de chaque sommet depuis la source pendant le parcours
  3. CÀ choisir le sommet de départ
  4. DÀ trier les arêtes par poids
5.Théorie des graphesMoyen
ABCDECircuit eulérienChemin eulérien, pas de circuitni l’une ni l’autre

Le graphe connexe a-t-il un circuit eulérien, un chemin eulérien qui n’est pas un circuit, ou ni l’un ni l’autre ? Cliquez sur votre réponse.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Circuit eulérien
  2. 2Chemin eulérien, pas de circuit
  3. 3ni l’une ni l’autre
6.Théorie des graphesDifficile
ABCDEF

Combien de marches fermées de longueur 2 partent de E et y reviennent ? Une marche peut répéter des sommets et des arêtes. Appelez ce nombre N.

M = matrice d’adjacenceL = 2
N =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: C · Elle continue de s'appeler jusqu'au débordement de la pile d'appels

Pourquoi c'est la réponse

Sans cas de base, la récursion ne s'arrête jamais ; en pratique, la mémoire pour les cadres de pile s'épuise et le programme plante.

Réponse

C · Elle continue de s'appeler jusqu'au débordement de la pile d'appels
2.Algorithmes et complexité

Réponse: B · Θ(nlog₂ 7), soit environ n2,81

Pourquoi c'est la réponse

Avec a = 7 et b = 2, nlog₂ 7 domine le travail d'addition en O(n²), ce qui donne environ n2,81.

Réponse

B · Θ(nlog₂ 7), soit environ n2,81
3.Structures de données

Réponse: D · 1 2 4 5 3

Pourquoi c'est la réponse

Le parcours préfixe visite 1, puis son sous-arbre gauche (2, 4, 5), puis 3 ; les autres options sont les parcours infixe, postfixe et par niveaux.

Réponse

D · 1 2 4 5 3
4.Structures de données

Réponse: A · À vérifier si les deux extrémités d'une arête sont déjà reliées

Pourquoi c'est la réponse

Find indique si les deux extrémités sont dans la même composante ; sinon, l'arête est ajoutée et union fusionne les composantes.

Réponse

A · À vérifier si les deux extrémités d'une arête sont déjà reliées
5.Théorie des graphes

Réponse: Circuit eulérien

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Degrés

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Sommets impairs

0
Circuit eulérien

Réponse

Circuit eulérien
6.Théorie des graphes

Réponse: N = 4

Degrés : le degré d’un sommet est le nombre d’arêtes qui y aboutissent. Chaque arête a deux extrémités, donc les degrés totalisent deux fois le nombre d’arêtes : Σ deg(v) = 2|E| (le lemme des poignées de main). Le nombre de sommets de degré impair est donc pair. Kn a n(n − 1)/2 arêtes, un graphe k-régulier à n sommets en a nk/2, et un arbre à n sommets a n − 1 arêtes.

Matrice d’adjacence

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 0 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 0 0 0 1 0
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 0 1 0

Voisins communs

(M²)EE = 0·0 + 1·1 + 1·1 + 1·1 + 0·0 + 1·1 = 4

Réponse

N = 4

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