Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main: Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Graphe régulier: |E| = n·k/2
Arbre et forêt: |E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans K_n: (n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L: (Mᴸ)_ij

Méthode

Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

La complexité temporelle de la version récursive naïve de Fibonacci (fib(n) = fib(n−1) + fib(n−2)) est :

ALogarithmique
BConstante
CLinéaire
DExponentielle

2.Algorithmes et complexitéDifficile

Quelle est la solution de la récurrence T(n) = 2T(n/2) + n log n ?

AΘ(n²)
BΘ(n log² n)
CΘ(n log n)
DΘ(n)

3.Structures de donnéesMoyen

Que se passe-t-il lorsqu'une table de hachage est rehachée après que son facteur de charge a dépassé un seuil ?

ASeules les clés en collision sont déplacées dans une nouvelle liste de débordement à la fin de la table
BLes clés les plus anciennes sont supprimées pour faire de la place
CUne table plus grande est allouée et chaque clé y est réinsérée
DLes clés existantes sont triées sur place

4.Structures de donnéesDifficile

Pourquoi les arbres B (B-trees) sont-ils utilisés dans les bases de données et les systèmes de fichiers ?

AIls stockent les données sans les trier
BIls utilisent moins de mémoire que n'importe quel tableau, si bien que tout l'index tient toujours en mémoire centrale
CIls n'ont pas besoin de rééquilibrage
DLeur facteur de branchement élevé maintient l'arbre peu profond, ce qui réduit les lectures disque lentes

5.Théorie des graphesMoyen

Le graphe connexe a-t-il un circuit eulérien, un chemin eulérien qui n’est pas un circuit, ou ni l’un ni l’autre ? Cliquez sur votre réponse.

|V| = 5|E| = 6

1Circuit eulérien
2Chemin eulérien, pas de circuit
3ni l’une ni l’autre

6.Théorie des graphesDifficile

Utilisez l’algorithme de Dijkstra pour trouver la longueur d(F) du plus court chemin de A à F dans le graphe pondéré.

départ : Aarrivée : F

d(F) =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: D · Exponentielle

Pourquoi c'est la réponse

L'arbre des appels croît à peu près comme φⁿ (environ 1,618ⁿ). La mémoïsation la réduit à O(n).

Réponse

D · Exponentielle

2.Algorithmes et complexité

Réponse: B · Θ(n log² n)

Pourquoi c'est la réponse

Le niveau k effectue environ n log(n / 2ᵏ) de travail, et la somme sur les log n niveaux donne Θ(n log² n), le deuxième cas étendu du théorème maître.

Réponse

B · Θ(n log² n)

3.Structures de données

Réponse: C · Une table plus grande est allouée et chaque clé y est réinsérée

Pourquoi c'est la réponse

Comme l'indice est calculé modulo la taille de la table, toutes les clés doivent être rehachées dans la nouvelle table, plus grande ; en doublant la taille, le coût reste O(1) amorti.

Réponse

C · Une table plus grande est allouée et chaque clé y est réinsérée

4.Structures de données

Réponse: D · Leur facteur de branchement élevé maintient l'arbre peu profond, ce qui réduit les lectures disque lentes

Pourquoi c'est la réponse

Les arbres B stockent de nombreuses clés par nœud, donc la hauteur est faible et peu de lectures de blocs sont nécessaires par recherche ; les arbres B+ relient en plus les feuilles pour les parcours d'intervalles.

Réponse

D · Leur facteur de branchement élevé maintient l'arbre peu profond, ce qui réduit les lectures disque lentes

5.Théorie des graphes

Réponse: Circuit eulérien

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; K_n en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Degrés

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Sommets impairs

Circuit eulérien

Réponse

Circuit eulérien

6.Théorie des graphes

Réponse: d(F) = 20

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Dijkstra tour par tour

Chaque ligne : le sommet fixé, sa distance définitive, et les voisins dont la distance s’améliore.

A (0): B: 8, C: 3

C (3): B: 5, E: 9

B (5): D: 14

E (9): F: 24

D (14): F: 20

F (20)

Plus court chemin

A → C → B → D → F

d(F) = 20

Réponse

d(F) = 20

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