Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

La borne inférieure du tri par comparaisons dans le pire cas est :

  1. AΩ(n log n)
  2. BΩ(log n)
  3. CΩ(n²)
  4. DΩ(n)
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Comment le problème du voyageur de commerce est-il classé ?

  1. AIl est indécidable
  2. BLa version décisionnelle est dans P mais la version d'optimisation est NP-complète
  3. CLa version décisionnelle est NP-complète et la version d'optimisation est NP-difficile
  4. DIl est dans P car l'algorithme de Dijkstra le résout en visitant chaque ville une seule fois
3.Structures de donnéesMoyen

Quelle structure de données un programme en cours d'exécution utilise-t-il pour suivre les appels de fonction actifs et leurs variables locales ?

  1. ALa pile d'appels
  2. BUne table de hachage des fonctions
  3. CLa file de la mémoire du tas
  4. DUn arbre binaire de recherche de cadres
4.Structures de donnéesDifficile

Un objet est stocké comme clé dans une table de hachage (hash map), puis un champ utilisé par sa fonction de hachage est modifié. Quel est le résultat probable ?

  1. ALa table déplace automatiquement la clé dans son nouveau compartiment
  2. BRien ne change, car le hachage d'une clé n'est calculé qu'une seule fois au démarrage du programme
  3. CLa recherche de l'objet peut échouer car il se trouve dans le compartiment de son ancien hachage
  4. DLa table lève une erreur au moment où le champ change
5.Théorie des graphesMoyen

Un graphe connexe a 18 sommets et 23 arêtes. Combien d’arêtes k faut-il retirer pour obtenir un arbre couvrant ?

|V| = 18|E| = 23
k =
6.Théorie des graphesDifficile
35510121117ABCDEF

Utilisez l’algorithme de Dijkstra pour trouver la longueur d(F) du plus court chemin de A à F dans le graphe pondéré.

départ : Aarrivée : F
d(F) =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: A · Ω(n log n)

Pourquoi c'est la réponse

Tout tri par comparaisons nécessite au moins log₂(n!) ≈ n log n comparaisons dans le pire cas. Le tri par dénombrement fait mieux car il n'effectue pas de comparaisons.

Réponse

A · Ω(n log n)
2.Algorithmes et complexité

Réponse: C · La version décisionnelle est NP-complète et la version d'optimisation est NP-difficile

Pourquoi c'est la réponse

« Existe-t-il une tournée de longueur au plus k ? » est NP-complet ; trouver la tournée la plus courte est NP-difficile, puisque c'est au moins aussi difficile.

Réponse

C · La version décisionnelle est NP-complète et la version d'optimisation est NP-difficile
3.Structures de données

Réponse: A · La pile d'appels

Pourquoi c'est la réponse

Chaque appel empile un cadre de pile (stack frame) et chaque retour le dépile, c'est pourquoi l'appel le plus récent se termine en premier.

Réponse

A · La pile d'appels
4.Structures de données

Réponse: C · La recherche de l'objet peut échouer car il se trouve dans le compartiment de son ancien hachage

Pourquoi c'est la réponse

L'emplacement de la clé a été choisi à partir de son ancien hachage ; avec un nouveau hachage, les recherches examinent le mauvais compartiment, c'est pourquoi les clés devraient être immuables.

Réponse

C · La recherche de l'objet peut échouer car il se trouve dans le compartiment de son ancien hachage
5.Théorie des graphes

Réponse: k = 6

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Arêtes d’un arbre couvrant

18 − 1 = 17

Arêtes à retirer

k = 23 − 17 = 6

Réponse

k = 6
6.Théorie des graphes

Réponse: d(F) = 22

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Dijkstra tour par tour

Chaque ligne : le sommet fixé, sa distance définitive, et les voisins dont la distance s’améliore.

A (0): B: 3, C: 5
B (3): D: 13, E: 10
C (5)
E (10): D: 11
D (11): F: 22
F (22)

Plus court chemin

A → B → E → D → F
d(F) = 22

Réponse

d(F) = 22

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