Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Quel est le temps d'exécution du tri par base LSD sur n entiers de d chiffres en base k ?

  1. AO(d(n + k))
  2. BO(dn log k)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n²)
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Qu'a établi le théorème de Cook-Levin ?

  1. AP est différent de NP
  2. BTout problème NP peut être résolu en temps exponentiel
  3. CLe problème de satisfiabilité booléenne (SAT) est NP-complet
  4. DLe problème de l'arrêt est indécidable
3.Structures de donnéesMoyen

Quelle méthode de résolution des collisions stocke les clés en collision dans une liste au sein du même compartiment ?

  1. ALe sondage quadratique (quadratic probing)
  2. BLe chaînage séparé (separate chaining)
  3. CLe double hachage (double hashing)
  4. DLe sondage linéaire (linear probing)
4.Structures de donnéesDifficile

Quelle propriété maintient tout B-arbre parfaitement équilibré ?

  1. AToutes les feuilles sont à la même profondeur
  2. BChaque nœud a exactement deux enfants
  3. CChaque nœud stocke une seule clé
  4. DLes clés ne sont stockées que dans la racine
5.Théorie des graphesMoyen
ABCDEFGCircuit eulérienChemin eulérien, pas de circuitni l’une ni l’autre

Le graphe connexe a-t-il un circuit eulérien, un chemin eulérien qui n’est pas un circuit, ou ni l’un ni l’autre ? Cliquez sur votre réponse.

|V| = 7|E| = 10
  1. 1Circuit eulérien
  2. 2Chemin eulérien, pas de circuit
  3. 3ni l’une ni l’autre
6.Théorie des graphesDifficile
1347211251ABCDEF

L’algorithme de Dijkstra part de A. Cliquez sur le sommet qui est fixé (rendu définitif) au tour 3 ; A lui-même est le tour 1.

départ : Atour 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: A · O(d(n + k))

Pourquoi c'est la réponse

Chacune des d passes est un tri par comptage coûtant O(n + k) ; pour d et k fixés, le total est donc linéaire en n.

Réponse

A · O(d(n + k))
2.Algorithmes et complexité

Réponse: C · Le problème de satisfiabilité booléenne (SAT) est NP-complet

Pourquoi c'est la réponse

Cook et Levin ont montré indépendamment que tout problème de NP se réduit à SAT en temps polynomial : SAT a donc été le premier problème NP-complet connu.

Réponse

C · Le problème de satisfiabilité booléenne (SAT) est NP-complet
3.Structures de données

Réponse: B · Le chaînage séparé (separate chaining)

Pourquoi c'est la réponse

Le chaînage conserve une liste chaînée (ou une autre structure) par compartiment ; l'adressage ouvert cherche un autre emplacement libre dans la table elle-même.

Réponse

B · Le chaînage séparé (separate chaining)
4.Structures de données

Réponse: A · Toutes les feuilles sont à la même profondeur

Pourquoi c'est la réponse

Les nœuds pleins se scindent vers le haut et l'arbre ne grandit que lorsque la racine se scinde, donc toutes les feuilles restent toujours au même niveau.

Réponse

A · Toutes les feuilles sont à la même profondeur
5.Théorie des graphes

Réponse: Chemin eulérien, pas de circuit

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Degrés

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 3, deg(E) = 2, deg(F) = 2, deg(G) = 4

Sommets impairs

C, D → 2
Chemin eulérien, pas de circuit

Réponse

Chemin eulérien, pas de circuit

Le chemin eulérien commence à un sommet impair et finit à l’autre.

6.Théorie des graphes

Réponse: B

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Dijkstra tour par tour

1. A (0): B: 13, C: 4
2. C (4): B: 11
3. B (11): D: 13, E: 12
4. E (12): F: 17
5. D (13)
6. F (17)

tour 3

B

Réponse

B

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