Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Pourquoi la programmation dynamique n'apporte-t-elle aucune accélération réelle au tri fusion ?

  1. ASes sous-problèmes ne se chevauchent pas, il n'y a donc rien à réutiliser
  2. BLa programmation dynamique ne fonctionne que sur les problèmes de graphes, pas sur les tableaux
  3. CLe tri fusion est déjà en O(n)
  4. DLe tri fusion n'a pas de structure récursive
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Qu'a établi le théorème de Cook-Levin ?

  1. AP est différent de NP
  2. BTout problème NP peut être résolu en temps exponentiel
  3. CLe problème de l'arrêt est indécidable
  4. DLe problème de satisfiabilité booléenne (SAT) est NP-complet
3.Structures de donnéesMoyen

Combien de nœuds possède un arbre binaire parfait de hauteur h, la hauteur étant comptée en arêtes ?

  1. A2h + 1
  2. B2h+1 − 1
  3. Ch2
  4. D2h
4.Structures de donnéesDifficile

Que fait un arbre splay (splay tree) après chaque accès ?

  1. AIl recolorie les nœuds du chemin de recherche
  2. BIl fait remonter le nœud accédé jusqu'à la racine par des rotations
  3. CIl déplace le nœud accédé vers une feuille
  4. DIl reconstruit tout l'arbre sous forme équilibrée
5.Théorie des graphesMoyen
ABCDECircuit eulérienChemin eulérien, pas de circuitni l’une ni l’autre

Le graphe connexe a-t-il un circuit eulérien, un chemin eulérien qui n’est pas un circuit, ou ni l’un ni l’autre ? Cliquez sur votre réponse.

|V| = 5|E| = 7
  1. 1Circuit eulérien
  2. 2Chemin eulérien, pas de circuit
  3. 3ni l’une ni l’autre
6.Théorie des graphesDifficile
13104131012114ABCDEF

L’algorithme de Dijkstra part de A. Cliquez sur le sommet qui est fixé (rendu définitif) au tour 3 ; A lui-même est le tour 1.

départ : Atour 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: A · Ses sous-problèmes ne se chevauchent pas, il n'y a donc rien à réutiliser

Pourquoi c'est la réponse

Les moitiés du tri fusion sont disjointes et chacune est résolue une seule fois ; la PD n'aide que lorsque les sous-problèmes se répètent, comme pour Fibonacci.

Réponse

A · Ses sous-problèmes ne se chevauchent pas, il n'y a donc rien à réutiliser
2.Algorithmes et complexité

Réponse: D · Le problème de satisfiabilité booléenne (SAT) est NP-complet

Pourquoi c'est la réponse

Cook et Levin ont montré indépendamment que tout problème de NP se réduit à SAT en temps polynomial : SAT a donc été le premier problème NP-complet connu.

Réponse

D · Le problème de satisfiabilité booléenne (SAT) est NP-complet
3.Structures de données

Réponse: B · 2h+1 − 1

Pourquoi c'est la réponse

La somme 1 + 2 + 4 + ... + 2h vaut 2h+1 − 1 ; par exemple, une hauteur de 2 donne 7 nœuds.

Réponse

B · 2h+1 − 1
4.Structures de données

Réponse: B · Il fait remonter le nœud accédé jusqu'à la racine par des rotations

Pourquoi c'est la réponse

Le splaying déplace le nœud accédé vers la racine par des rotations ; une opération isolée peut coûter O(n), mais le coût amorti est O(log n).

Réponse

B · Il fait remonter le nœud accédé jusqu'à la racine par des rotations
5.Théorie des graphes

Réponse: Chemin eulérien, pas de circuit

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Degrés

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 3

Sommets impairs

C, E → 2
Chemin eulérien, pas de circuit

Réponse

Chemin eulérien, pas de circuit

Le chemin eulérien commence à un sommet impair et finit à l’autre.

6.Théorie des graphes

Réponse: B

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Dijkstra tour par tour

1. A (0): B: 13, C: 10
2. C (10)
3. B (13): D: 26, E: 27
4. D (26): F: 38
5. E (27): F: 28
6. F (28)

tour 3

B

Réponse

B

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