Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Quelle est la complexité temporelle de : pour i = 1 à n : pour j = 1 à i : faire un travail O(1) ?

  1. AO(n log n)
  2. BO(n)
  3. CO(n³)
  4. DO(n²)
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Le tri topologique n'est possible que pour :

  1. ALes graphes orientés acycliques (DAG)
  2. BLes graphes complets
  3. CLes graphes à poids négatifs
  4. DLes graphes non orientés
3.Structures de donnéesMoyen

Quelle quantité de mémoire une liste d'adjacence utilise-t-elle pour un graphe à V sommets et E arêtes ?

  1. AO(V + E)
  2. BO(V × E)
  3. CO(E²)
  4. DO(V²)
4.Structures de donnéesDifficile

Sous l'hypothèse de hachage uniforme simple, quel est le temps attendu d'une recherche dans une table de hachage à chaînage contenant n clés et m compartiments ?

  1. AO(n)
  2. BO(1 + α), où α = n / m
  3. CO(m)
  4. DO(log n)
5.Théorie des graphesMoyen

Combien de circuits hamiltoniens différents H le graphe complet K7 a-t-il ? Les circuits qui ne diffèrent que par le sommet de départ ou le sens comptent comme un seul.

K7
H =
6.Théorie des graphesDifficile
151161014725ABCDEF

Trouvez le poids total W d’un arbre couvrant minimal du graphe pondéré.

|V| = 6|E| = 8
W =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: D · O(n²)

Pourquoi c'est la réponse

Le corps intérieur s'exécute n(n + 1) / 2 fois au total, ce qui reste quadratique.

Réponse

D · O(n²)
2.Algorithmes et complexité

Réponse: A · Les graphes orientés acycliques (DAG)

Pourquoi c'est la réponse

Un ordre topologique existe si et seulement si le graphe orienté ne contient pas de cycle ; on peut le trouver en O(V + E) avec DFS ou l'algorithme de Kahn.

Réponse

A · Les graphes orientés acycliques (DAG)
3.Structures de données

Réponse: A · O(V + E)

Pourquoi c'est la réponse

Chaque sommet a une liste et chaque arête apparaît une fois (orienté) ou deux fois (non orienté), ce qui donne O(V + E).

Réponse

A · O(V + E)
4.Structures de données

Réponse: B · O(1 + α), où α = n / m

Pourquoi c'est la réponse

Le calcul du hachage coûte O(1) et la longueur attendue d'une chaîne est α ; maintenir α borné par redimensionnement donne donc un temps attendu en O(1).

Réponse

B · O(1 + α), où α = n / m
5.Théorie des graphes

Réponse: H = 360

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Compter

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

Réponse

H = 360
6.Théorie des graphes

Réponse: W = 29

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Algorithme de Kruskal

AC (1): prise
EF (2): prise
BE (5): prise
DF (7): prise
BD (10): sautée, ferme un cycle
CE (14): prise

Poids total

W = 1 + 2 + 5 + 7 + 14 = 29

Réponse

W = 29

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