Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Quel algorithme trouve les plus courts chemins depuis une source dans un graphe dont les poids des arêtes sont positifs ou nuls ?

  1. ABellman-Ford est nécessaire dans tous les cas
  2. BLe parcours en profondeur (DFS)
  3. CL'algorithme de Dijkstra
  4. DL'algorithme de Kruskal
2.Algorithmes et complexitéDifficile

La multiplication de Karatsuba vérifie T(n) = 3T(n/2) + O(n). Quelle en est la solution ?

  1. AΘ(n log n)
  2. BΘ(nlog₂ 3), soit environ n1,585
  3. CΘ(n²)
  4. DΘ(n3)
3.Structures de donnéesMoyen

Que se passe-t-il lorsqu'une table de hachage est rehachée après que son facteur de charge a dépassé un seuil ?

  1. AUne table plus grande est allouée et chaque clé y est réinsérée
  2. BLes clés les plus anciennes sont supprimées pour faire de la place
  3. CLes clés existantes sont triées sur place
  4. DSeules les clés en collision sont déplacées dans une nouvelle liste de débordement à la fin de la table
4.Structures de donnéesDifficile

Un arbre de Fenwick (binary indexed tree) sur un tableau de n nombres permet quelles opérations en O(log n) ?

  1. AL'insertion d'éléments à n'importe quelle position
  2. BLe tri du tableau et la recherche dichotomique
  3. CLa recherche de la médiane en O(1)
  4. DLes requêtes de sommes préfixes et les mises à jour d'un seul élément
5.Théorie des graphesMoyen

Un graphe connexe a 10 sommets et 21 arêtes. Combien d’arêtes k faut-il retirer pour obtenir un arbre couvrant ?

|V| = 10|E| = 21
k =
6.Théorie des graphesDifficile
811144201219101ABCDEFG

L’algorithme de Prim construit un arbre couvrant minimal en partant du sommet E. Cliquez sur l’arête qu’il ajoute en numéro 5.

départ : Ek = 5
  1. 1arête AB
  2. 2arête CE
  3. 3arête DE
  4. 4arête DF
  5. 5arête EF
  6. 6arête GB
  7. 7arête GC
  8. 8arête GD
  9. 9arête GE

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: C · L'algorithme de Dijkstra

Pourquoi c'est la réponse

L'algorithme de Dijkstra fonctionne avec des poids positifs ou nuls ; Bellman-Ford gère les poids négatifs ; Kruskal construit des arbres couvrants de poids minimal.

Réponse

C · L'algorithme de Dijkstra
2.Algorithmes et complexité

Réponse: B · Θ(nlog₂ 3), soit environ n1,585

Pourquoi c'est la réponse

Comme log₂ 3 ≈ 1,585 > 1, les feuilles dominent d'après le théorème maître, ce qui bat la méthode scolaire en O(n²).

Réponse

B · Θ(nlog₂ 3), soit environ n1,585
3.Structures de données

Réponse: A · Une table plus grande est allouée et chaque clé y est réinsérée

Pourquoi c'est la réponse

Comme l'indice est calculé modulo la taille de la table, toutes les clés doivent être rehachées dans la nouvelle table, plus grande ; en doublant la taille, le coût reste O(1) amorti.

Réponse

A · Une table plus grande est allouée et chaque clé y est réinsérée
4.Structures de données

Réponse: D · Les requêtes de sommes préfixes et les mises à jour d'un seul élément

Pourquoi c'est la réponse

Un arbre de Fenwick stocke des sommes partielles sur des intervalles déterminés par les bits de poids faible de chaque indice, donc les sommes préfixes comme les mises à jour ponctuelles prennent O(log n).

Réponse

D · Les requêtes de sommes préfixes et les mises à jour d'un seul élément
5.Théorie des graphes

Réponse: k = 12

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Arêtes d’un arbre couvrant

10 − 1 = 9

Arêtes à retirer

k = 21 − 9 = 12

Réponse

k = 12
6.Théorie des graphes

Réponse: arête GB

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Algorithme de Prim

1. GE (1)
2. GD (10)
3. DF (4)
4. CE (11)
5. GB (12)
6. AB (8)

numéro de l’arête 5

GB

Réponse

arête GB

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