Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Une fonction exécute une boucle de n itérations, puis, séparément, une autre boucle de n itérations. Quelle est sa complexité temporelle ?

  1. AO(log n)
  2. BO(n)
  3. CO(2ⁿ)
  4. DO(n²)
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Quelle technique donne au tri rapide un temps d'exécution espéré en O(n log n) pour toute entrée ?

  1. AN'utiliser la récursivité que sur la partie gauche
  2. BChoisir le pivot uniformément au hasard
  3. CToujours choisir le premier élément
  4. DTrier l'entrée avant d'exécuter le tri rapide
3.Structures de donnéesMoyen

Dans un tas binaire stocké dans un tableau commençant à l'indice 0, où se trouve le parent du nœud d'indice i ?

  1. AÀ l'indice ⌊(i − 1) / 2⌋
  2. BÀ l'indice ⌊i / 2⌋ + 1
  3. CÀ l'indice 2i + 1
  4. DÀ l'indice i − 1
4.Structures de donnéesDifficile

Pourquoi un serveur pourrait-il choisir sa fonction de hachage au hasard dans une famille universelle ?

  1. APour garantir que deux clés n'entrent jamais en collision, quelles que soient les clés envoyées par un attaquant
  2. BPour supprimer le besoin de redimensionner la table
  3. CPour rendre très improbable qu'un attaquant puisse choisir de nombreuses clés qui entrent toutes en collision
  4. DPour que la table de hachage soit triée
5.Théorie des graphesMoyen
ABCDEFGCircuit eulérienChemin eulérien, pas de circuitni l’une ni l’autre

Le graphe connexe a-t-il un circuit eulérien, un chemin eulérien qui n’est pas un circuit, ou ni l’un ni l’autre ? Cliquez sur votre réponse.

|V| = 7|E| = 12
  1. 1Circuit eulérien
  2. 2Chemin eulérien, pas de circuit
  3. 3ni l’une ni l’autre
6.Théorie des graphesDifficile
ABCDE

Combien de marches fermées de longueur 3 partent de C et y reviennent ? Une marche peut répéter des sommets et des arêtes. Appelez ce nombre N.

M = matrice d’adjacenceL = 3
N =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: B · O(n)

Pourquoi c'est la réponse

n + n = 2n, et les facteurs constants sont supprimés : la fonction est donc O(n).

Réponse

B · O(n)
2.Algorithmes et complexité

Réponse: B · Choisir le pivot uniformément au hasard

Pourquoi c'est la réponse

Avec un pivot aléatoire, le temps d'exécution espéré est O(n log n) pour toute entrée ; les mauvais cas existent toujours, mais sont très improbables.

Réponse

B · Choisir le pivot uniformément au hasard
3.Structures de données

Réponse: A · À l'indice ⌊(i − 1) / 2⌋

Pourquoi c'est la réponse

Les enfants de i sont en 2i + 1 et 2i + 2, donc le parent de i est en ⌊(i − 1) / 2⌋ ; avec une indexation à partir de 1, il est en ⌊i / 2⌋.

Réponse

A · À l'indice ⌊(i − 1) / 2⌋
4.Structures de données

Réponse: C · Pour rendre très improbable qu'un attaquant puisse choisir de nombreuses clés qui entrent toutes en collision

Pourquoi c'est la réponse

Avec le hachage universel, le nombre attendu de collisions est faible pour tout ensemble de clés, puisque l'attaquant ne sait pas quelle fonction a été choisie.

Réponse

C · Pour rendre très improbable qu'un attaquant puisse choisir de nombreuses clés qui entrent toutes en collision
5.Théorie des graphes

Réponse: Circuit eulérien

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Degrés

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 4, deg(D) = 4, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 4

Sommets impairs

0
Circuit eulérien

Réponse

Circuit eulérien
6.Théorie des graphes

Réponse: N = 4

Degrés : le degré d’un sommet est le nombre d’arêtes qui y aboutissent. Chaque arête a deux extrémités, donc les degrés totalisent deux fois le nombre d’arêtes : Σ deg(v) = 2|E| (le lemme des poignées de main). Le nombre de sommets de degré impair est donc pair. Kn a n(n − 1)/2 arêtes, un graphe k-régulier à n sommets en a nk/2, et un arbre à n sommets a n − 1 arêtes.

Matrice d’adjacence

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 0 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 0 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Un pas de plus

(M³)CC = 1·1 + 2·1 + 3·0 + 1·0 + 1·1 = 4

Réponse

N = 4

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