Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Avec des pièces de 1, 3 et 4 et un montant de 6, combien de pièces utilise la méthode gloutonne « la plus grosse pièce d'abord », comparée à l'optimum ?

  1. ALe glouton utilise 3 pièces ; l'optimum est 2
  2. BLe glouton utilise 4 pièces ; l'optimum est 3
  3. CLe glouton utilise 2 pièces ; l'optimum est 2
  4. DLe glouton utilise 3 pièces ; l'optimum est 3
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Pour quelle variante du problème du sac à dos la règle gloutonne « prendre les objets par ordre de valeur par unité de poids » donne-t-elle toujours une réponse optimale ?

  1. AAucune des deux variantes
  2. BLes deux variantes
  3. CLe sac à dos fractionnaire, où les objets peuvent être fractionnés
  4. DLe sac à dos 0/1, où les objets doivent toujours être pris entiers
3.Structures de donnéesMoyen

Dans une file circulaire stockée dans un tableau de capacité n, comment calcule-t-on la position suivant l'indice i ?

  1. A2i + 1
  2. B(i + 1) mod n
  3. C(i − 1) mod n
  4. Di + 1
4.Structures de donnéesDifficile

Quelle propriété maintient tout B-arbre parfaitement équilibré ?

  1. ALes clés ne sont stockées que dans la racine
  2. BChaque nœud a exactement deux enfants
  3. CChaque nœud stocke une seule clé
  4. DToutes les feuilles sont à la même profondeur
5.Théorie des graphesMoyen

Un arbre a 2 sommets de degré 5, 4 sommets de degré 2, et tous ses autres sommets sont des feuilles (degré 1). Combien de feuilles L a-t-il ?

2 × deg 54 × deg 2
L =
6.Théorie des graphesDifficile
31353144139ABCDEF

Utilisez l’algorithme de Dijkstra pour trouver la longueur d(D) du plus court chemin de A à D dans le graphe pondéré.

départ : Aarrivée : D
d(D) =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: A · Le glouton utilise 3 pièces ; l'optimum est 2

Pourquoi c'est la réponse

Le glouton prend 4 + 1 + 1 = 3 pièces, mais 3 + 3 n'en utilise que 2 : le glouton n'est pas optimal pour ce système de pièces, contrairement à la programmation dynamique.

Réponse

A · Le glouton utilise 3 pièces ; l'optimum est 2
2.Algorithmes et complexité

Réponse: C · Le sac à dos fractionnaire, où les objets peuvent être fractionnés

Pourquoi c'est la réponse

Lorsque les objets peuvent être fractionnés, prendre d'abord le meilleur rapport est optimal ; dans le sac à dos 0/1, un objet à fort rapport peut bloquer une meilleure combinaison, d'où la nécessité de la programmation dynamique.

Réponse

C · Le sac à dos fractionnaire, où les objets peuvent être fractionnés
3.Structures de données

Réponse: B · (i + 1) mod n

Pourquoi c'est la réponse

L'opération modulo ramène l'indice n − 1 à 0, ce qui permet de réutiliser le tableau sans décaler les éléments.

Réponse

B · (i + 1) mod n
4.Structures de données

Réponse: D · Toutes les feuilles sont à la même profondeur

Pourquoi c'est la réponse

Les nœuds pleins se scindent vers le haut et l'arbre ne grandit que lorsque la racine se scinde, donc toutes les feuilles restent toujours au même niveau.

Réponse

D · Toutes les feuilles sont à la même profondeur
5.Théorie des graphes

Réponse: L = 8

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Lemme des poignées de main pour un arbre

L + 18 = 2(L + 6) − 2
L = 8

Réponse

L = 8

Raccourci : L = 2 + Σ (d − 2) sur les sommets de degré d ≥ 3.

6.Théorie des graphes

Réponse: d(D) = 6

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Dijkstra tour par tour

Chaque ligne : le sommet fixé, sa distance définitive, et les voisins dont la distance s’améliore.

A (0): B: 3, C: 13
B (3): C: 8, D: 6, E: 12
D (6): F: 10
C (8)
F (10)
E (12)

Plus court chemin

A → B → D
d(D) = 6

Réponse

d(D) = 6

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