Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main: Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Graphe régulier: |E| = n·k/2
Arbre et forêt: |E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans K_n: (n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L: (Mᴸ)_ij

Méthode

Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Que calcule l'algorithme de Floyd-Warshall, et en combien de temps ?

ALes plus courts chemins entre toutes les paires de sommets en O(V³)
BUn ordre topologique en O(V²)
CUn arbre couvrant de poids minimal en O(E log V)
DLes plus courts chemins depuis un sommet source vers tous les autres en O(V + E)

2.Algorithmes et complexitéDifficile

Qu'a établi le théorème de Cook-Levin ?

ALe problème de satisfiabilité booléenne (SAT) est NP-complet
BTout problème NP peut être résolu en temps exponentiel
CLe problème de l'arrêt est indécidable
DP est différent de NP

3.Structures de donnéesMoyen

Quelle condition d'équilibre un arbre AVL maintient-il en chaque nœud ?

ALes hauteurs des sous-arbres gauche et droit diffèrent d'au plus 1
BToutes les feuilles sont exactement à la même profondeur
CLes deux sous-arbres de chaque nœud contiennent exactement le même nombre de nœuds
DChaque nœud est colorié en rouge ou en noir

4.Structures de donnéesDifficile

Quelle propriété un arbre rouge-noir doit-il respecter ?

ATout nœud rouge doit avoir des enfants rouges, si bien que les nœuds rouges forment toujours des chaînes ininterrompues jusqu'aux feuilles
BChaque nœud doit être rouge
CLa racine doit être rouge
DTout chemin d'un nœud vers ses feuilles descendantes contient le même nombre de nœuds noirs

5.Théorie des graphesMoyen

Combien de circuits hamiltoniens différents H le graphe complet K₅ a-t-il ? Les circuits qui ne diffèrent que par le sommet de départ ou le sens comptent comme un seul.

K₅

H =

6.Théorie des graphesDifficile

L’algorithme de Dijkstra part de A. Cliquez sur le sommet qui est fixé (rendu définitif) au tour 5 ; A lui-même est le tour 1.

départ : Atour 5

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: A · Les plus courts chemins entre toutes les paires de sommets en O(V³)

Pourquoi c'est la réponse

Floyd-Warshall est un algorithme de programmation dynamique qui autorise tour à tour chaque sommet comme point intermédiaire, en temps O(V³).

Réponse

A · Les plus courts chemins entre toutes les paires de sommets en O(V³)

2.Algorithmes et complexité

Réponse: A · Le problème de satisfiabilité booléenne (SAT) est NP-complet

Pourquoi c'est la réponse

Cook et Levin ont montré indépendamment que tout problème de NP se réduit à SAT en temps polynomial : SAT a donc été le premier problème NP-complet connu.

Réponse

A · Le problème de satisfiabilité booléenne (SAT) est NP-complet

3.Structures de données

Réponse: A · Les hauteurs des sous-arbres gauche et droit diffèrent d'au plus 1

Pourquoi c'est la réponse

Le facteur d'équilibre (hauteur gauche − hauteur droite) doit valoir −1, 0 ou 1 ; des rotations le rétablissent après les insertions et les suppressions.

Réponse

A · Les hauteurs des sous-arbres gauche et droit diffèrent d'au plus 1

4.Structures de données

Réponse: D · Tout chemin d'un nœud vers ses feuilles descendantes contient le même nombre de nœuds noirs

Pourquoi c'est la réponse

Règles rouge-noir : les nœuds sont rouges ou noirs, la racine est noire, les nœuds rouges ont des enfants noirs et tous les chemins ont la même hauteur noire, ce qui maintient la hauteur ≤ 2 log₂(n + 1).

Réponse

D · Tout chemin d'un nœud vers ses feuilles descendantes contient le même nombre de nœuds noirs

5.Théorie des graphes

Réponse: H = 12

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; K_n en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Compter

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

Réponse

H = 12

6.Théorie des graphes

Réponse: F

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Dijkstra tour par tour

1. A (0): B: 8, C: 15

2. B (8): D: 10, E: 23

3. D (10): F: 18

4. C (15)

5. F (18)

6. E (23)

tour 5

Réponse

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