Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Quelle est la complexité temporelle de l'algorithme de Bellman-Ford sur un graphe à V sommets et E arêtes ?

  1. AO(V³ × E)
  2. BO(V + E)
  3. CO(V × E)
  4. DO(E log V)
2.Algorithmes et complexitéDifficile

Quel énoncé sur la notation petit o est correct ?

  1. An² = o(n)
  2. Bn = o(n²), mais n n'est pas o(n)
  3. Cn = o(n), puisque toute fonction est un petit o d'elle-même
  4. D2n = o(n), car 2n croît lentement
3.Structures de donnéesMoyen

Dans une file circulaire stockée dans un tableau de capacité n, comment calcule-t-on la position suivant l'indice i ?

  1. A(i − 1) mod n
  2. B(i + 1) mod n
  3. C2i + 1
  4. Di + 1
4.Structures de donnéesDifficile

Quel est le temps d'exécution d'un parcours en largeur sur un graphe à V sommets stocké sous forme de matrice d'adjacence ?

  1. AO(V)
  2. BO(V²)
  3. CO(V + E)
  4. DO(E log V)
5.Théorie des graphesMoyen

Un graphe connexe a 19 sommets et 29 arêtes. Combien d’arêtes k faut-il retirer pour obtenir un arbre couvrant ?

|V| = 19|E| = 29
k =
6.Théorie des graphesDifficile
ABCDEF

Combien de marches de longueur 2 vont de B à A ? Une marche peut répéter des sommets et des arêtes. Appelez ce nombre N.

M = matrice d’adjacenceL = 2
N =

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: C · O(V × E)

Pourquoi c'est la réponse

Chacun des V − 1 tours relâche les E arêtes, d'où O(VE) ; en contrepartie, il gère les poids d'arêtes négatifs.

Réponse

C · O(V × E)
2.Algorithmes et complexité

Réponse: B · n = o(n²), mais n n'est pas o(n)

Pourquoi c'est la réponse

f = o(g) signifie que f(n) / g(n) tend vers 0 ; n / n² tend vers 0, mais n / n = 1 non.

Réponse

B · n = o(n²), mais n n'est pas o(n)
3.Structures de données

Réponse: B · (i + 1) mod n

Pourquoi c'est la réponse

L'opération modulo ramène l'indice n − 1 à 0, ce qui permet de réutiliser le tableau sans décaler les éléments.

Réponse

B · (i + 1) mod n
4.Structures de données

Réponse: B · O(V²)

Pourquoi c'est la réponse

Chacun des V sommets parcourt une ligne de V cases, ce qui donne O(V²) ; avec des listes d'adjacence, le BFS est en O(V + E).

Réponse

B · O(V²)
5.Théorie des graphes

Réponse: k = 11

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Arêtes d’un arbre couvrant

19 − 1 = 18

Arêtes à retirer

k = 29 − 18 = 11

Réponse

k = 11
6.Théorie des graphes

Réponse: N = 1

Degrés : le degré d’un sommet est le nombre d’arêtes qui y aboutissent. Chaque arête a deux extrémités, donc les degrés totalisent deux fois le nombre d’arêtes : Σ deg(v) = 2|E| (le lemme des poignées de main). Le nombre de sommets de degré impair est donc pair. Kn a n(n − 1)/2 arêtes, un graphe k-régulier à n sommets en a nk/2, et un arbre à n sommets a n − 1 arêtes.

Matrice d’adjacence

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 0 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 0 0 0 0 1
E: 0 1 1 0 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Voisins communs

(M²)BA = 1·0 + 0·1 + 1·1 + 0·0 + 1·0 + 0·0 = 1

Réponse

N = 1

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