Algorithmique et structures de données : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 6 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Théorie des graphes

Lemme des poignées de main
Σ deg(v) = 2|E|
Graphes complets
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Graphe régulier
|E| = n·k/2
Arbre et forêt
|E| = n − 1, |E| = n − c
Feuilles d’un arbre
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuit : tous les degrés pairs ; chemin : exactement 2 degrés impairs
Circuits hamiltoniens dans Kn
(n − 1)!/2
Mise à jour de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Marches de longueur L
(Mᴸ)ij

Méthode

  1. Notez le degré de chaque sommet ; la somme des degrés vaut deux fois le nombre d’arêtes.
  2. Pour les questions d’Euler, vérifiez que le graphe est connexe et comptez les sommets de degré impair.
  3. Pour les arbres, utilisez n − 1 arêtes et le lemme des poignées de main.
  4. Pour Dijkstra, tenez un tableau des distances provisoires et fixez à chaque tour le sommet non fixé de plus petite distance.
  5. Pour un arbre couvrant minimal, triez les arêtes par poids et sautez toute arête qui ferme un cycle (Kruskal), ou faites croître un arbre à partir d’un sommet de départ (Prim).

2Exercices

1.Algorithmes et complexitéMoyen

Environ combien de comparaisons la recherche dichotomique nécessite-t-elle dans le pire cas sur un tableau trié de 1,000,000 d'éléments ?

  1. AEnviron 1,000
  2. BEnviron 100
  3. CEnviron 20
  4. DEnviron 500,000
2.Algorithmes et complexitéDifficile

D'après le théorème maître, T(n) = 8T(n/2) + O(n²) a pour solution :

  1. AΘ(n² log n)
  2. BΘ(n³)
  3. CΘ(n log n)
  4. DΘ(n²)
3.Structures de donnéesMoyen

Un tampon circulaire (ring buffer) est couramment utilisé pour implémenter :

  1. AUn parcours de graphe
  2. BUne file de taille fixe
  3. CUne fonction de hachage
  4. DUn arbre binaire de recherche
4.Structures de donnéesDifficile

Quelle garantie les règles des arbres rouge-noir donnent-elles sur la hauteur d'un arbre à n clés ?

  1. ALa hauteur vaut exactement log2 n
  2. BLa hauteur est au plus log2 n + 1
  3. CLa hauteur est au plus n / 2
  4. DLa hauteur est au plus 2 log2(n + 1)
5.Théorie des graphesMoyen
ABCDEFGCircuit eulérienChemin eulérien, pas de circuitni l’une ni l’autre

Le graphe connexe a-t-il un circuit eulérien, un chemin eulérien qui n’est pas un circuit, ou ni l’un ni l’autre ? Cliquez sur votre réponse.

|V| = 7|E| = 7
  1. 1Circuit eulérien
  2. 2Chemin eulérien, pas de circuit
  3. 3ni l’une ni l’autre
6.Théorie des graphesDifficile
918112019213ABCDE

L’algorithme de Prim construit un arbre couvrant minimal en partant du sommet A. Cliquez sur l’arête qu’il ajoute en numéro 2.

départ : Ak = 2
  1. 1arête AB
  2. 2arête AC
  3. 3arête BC
  4. 4arête BD
  5. 5arête CE
  6. 6arête DE
  7. 7arête BE

3Solutions

1.Algorithmes et complexité

Réponse: C · Environ 20

Pourquoi c'est la réponse

220 ≈ 1,048,576 : après environ 20 divisions par deux, il ne reste qu'un élément.

Réponse

C · Environ 20
2.Algorithmes et complexité

Réponse: B · Θ(n³)

Pourquoi c'est la réponse

log₂ 8 = 3, et n² croît plus lentement que n³, donc les feuilles dominent : Θ(n³).

Réponse

B · Θ(n³)
3.Structures de données

Réponse: B · Une file de taille fixe

Pourquoi c'est la réponse

Un tampon circulaire utilise des indices de tête et de queue qui reviennent au début, ce qui permet enqueue et dequeue en O(1) dans une mémoire fixe.

Réponse

B · Une file de taille fixe
4.Structures de données

Réponse: D · La hauteur est au plus 2 log2(n + 1)

Pourquoi c'est la réponse

Chaque chemin contient le même nombre de nœuds noirs et deux nœuds rouges ne peuvent pas être adjacents, donc le plus long chemin fait au plus le double du plus court, ce qui donne une hauteur en O(log n).

Réponse

D · La hauteur est au plus 2 log2(n + 1)
5.Théorie des graphes

Réponse: ni l’une ni l’autre

Euler, Hamilton et arbres : un graphe connexe a un circuit eulérien (chaque arête une fois, retour au départ) quand tous les sommets ont un degré pair, et un chemin eulérien qui n’est pas un circuit quand exactement deux sommets ont un degré impair ; le chemin va alors d’un sommet impair à l’autre. Un circuit hamiltonien visite chaque sommet une fois ; Kn en a (n − 1)!/2. Un arbre à n sommets a n − 1 arêtes, et un graphe connexe à m arêtes conserve un arbre couvrant après suppression de m − n + 1 arêtes.

Degrés

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2, deg(F) = 1, deg(G) = 3

Sommets impairs

A, B, F, G → 4
ni l’une ni l’autre

Réponse

ni l’une ni l’autre
6.Théorie des graphes

Réponse: arête BC

Plus courts chemins et arbres couvrants : l’algorithme de Dijkstra fixe un sommet par tour : le sommet non fixé de plus petite distance provisoire. Sa distance est alors définitive, et chaque voisin v reçoit d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algorithme de Kruskal construit un arbre couvrant minimal en prenant les arêtes de la plus légère à la plus lourde et en sautant toute arête qui fermerait un cycle ; l’algorithme de Prim fait croître un arbre à partir d’un sommet de départ en ajoutant toujours l’arête la plus légère qui en sort. Un arbre couvrant à n sommets a n − 1 arêtes.

Algorithme de Prim

1. AB (9)
2. BC (11)
3. BE (13)
4. DE (2)

numéro de l’arête 2

BC

Réponse

arête BC

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